Với a,b,c là các số dương. Chứng minh (a+b+c)($\dfrac{1}{a}$+$\dfrac{1}{b}$+$\dfrac{1}{c}$)≥9

QK

Quốc Khánh

9 tháng 2 2021

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:

$\dfrac{a+b}{bc+a^2}+\dfrac{b+c}{ac+b^2}+\dfrac{c+a}{ab+c^2}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

#Toán lớp 8

2

NT

nguyen thi vang

10 tháng 2 2021

Xét hiệu VT - VP

$\dfrac{a+b}{bc+a^2}+\dfrac{b+c}{ab+b^2}+\dfrac{c+a}{ab+c^2}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}=\dfrac{a^2+ab-bc-a^2}{a\left(bc+a^2\right)}+\dfrac{b^2+bc-ac-b^2}{b\left(ac+b^2\right)}+\dfrac{c^2+ac-ab-c^2}{c\left(ab+c^2\right)}=\dfrac{b\left(a-c\right)}{a\left(bc+a^2\right)}+\dfrac{c\left(b-a\right)}{b\left(ac+b^2\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)}{c\left(ab+c^2\right)}$

Do a,b,c bình đẳng nên giả sử a$\ge$b$\ge$c, khi đó $b\left(a-c\right)$$\ge$0, c(b-a)$\le$0, a(c-b)$\le$0

$a^3\ge b^3\ge c^3=>abc+a^3\ge abc+b^3\ge abc+c^3$=>$\dfrac{b\left(a-c\right)}{a\left(bc+a^2\right)}\le\dfrac{b\left(a-c\right)}{b\left(ac+b^2\right)}$

=> VT -VP $\le$ $\dfrac{b\left(a-c\right)}{a\left(bc+a^2\right)}+\dfrac{c\left(b-a\right)}{b\left(ac+b^2\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)}{c\left(ab+c^2\right)}=\dfrac{ab-ac}{b\left(ac+b^2\right)}+\dfrac{ac-ab}{c\left(ab+c^2\right)}=\dfrac{a\left(b-c\right)}{b\left(ac+b^2\right)}-\dfrac{a\left(b-c\right)}{c\left(ab+c^2\right)}$

mà $\dfrac{1}{b\left(ac+b^2\right)}\le\dfrac{1}{c\left(ab+c^2\right)}$ nên VT-VP <0 đpcm

Đúng(2)

T

tthnew

10 tháng 2 2021

$a,b,c$ ở đây chỉ có vai trò là hoán vị thôi nên không được giả sử $a\ge b\ge c$ đâu ạ. Nên cách này chưa trọn vẹn.

Đúng(0)

NM

Nguyễn Mary

23 tháng 3 2018

cho 3 số dương a, b, c có a+b+c=1

chứng minh: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}>=9$

#Toán lớp 8

4

DP

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG

23 tháng 3 2018

Ta có :

$a+b+c=1$

$\Leftrightarrow$ $\dfrac{a+b+c}{a}=\dfrac{1}{a}$

$\Leftrightarrow1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{a}$(1)

Tương tự ta lại có :

$1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=\dfrac{1}{b}$ (2)

$1+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{1}{c}$ (3)

Từ 1 ; 2 và 3 :

$\left\{{}\begin{matrix}1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{a}\\1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=\dfrac{1}{b}\\1+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{1}{c}\end{matrix}\right.$

Cộng vế theo vế ta được :

$3+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

Đúng(0)

MS

Mashiro Shiina

23 tháng 3 2018

căng thế @Dương Phan Khánh Dương

Cauchy-Schwarz: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9$

Đúng(0)

V

:vvv

3 tháng 2 2021

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}+\dfrac{1}{a^2+b^2}\le\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3$

Mọi người giúp em với ạ, chiều em phải nộp rồi ạ T.T

#Toán lớp 8

0

KH

Kamato Heiji

15 tháng 2 2021

1.Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên thỏa mãn $a^3+b^3=2\left(c^3-d^3\right)$ . Chứng minh rằng a+b+c+d chia hết cho 3

2.Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng $\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}$

#Toán lớp 8

2

HQ

Hồng Quang

15 tháng 2 2021

thử bài bất :D

Ta có: $\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}$ ( AM-GM cho 5 số ) (*)

Hoàn toàn tương tự:

$\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}$ (AM-GM cho 5 số) (**)

$\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}$ (AM-GM cho 5 số) (***)

Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:

$P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}$ $\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}$

Mà: $a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3$ ( AM-GM 3 số )

Từ đây: $\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Đúng(1)

HQ

Hồng Quang

15 tháng 2 2021

1. $a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3$ :D

Đúng(0)

HN

ha nguyen

9 tháng 8 2023

chứng minh bất đẳng thức sau

$\dfrac{a}{bc}$+$\dfrac{b}{ca}$+$\dfrac{c}{ab}$≥$\dfrac{2}{a}$+$\dfrac{2}{b}$+$\dfrac{2}{c}$( với a,b,c là các số dương)

#Toán lớp 8

1

B

blua

10 tháng 8 2023

tử vế phải là 3 hay 2 vậy bạn.

Đúng(0)

ND

Như Dương

19 tháng 7 2017

Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}}\le\dfrac{a+b+c}{2}$

#Toán lớp 8

1

NQ

Nguyễn Quang Định

20 tháng 7 2017

Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P

Áp dụng BĐT $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}$ ( Tự chứng minh BĐT này ), ta có:

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}$

$\Rightarrow\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\le\dfrac{1}{\dfrac{4}{a+b}}=\dfrac{a+b}{4}\left(1\right)$

Tương tự: $\dfrac{1}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}\le\dfrac{b+c}{4}\left(2\right)$

$\dfrac{1}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}}\le\dfrac{c+a}{4}\left(3\right)$

Cộng $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)$ vế theo vế, ta được:

$P\le\dfrac{a+b+b+c+c+a}{4}=\dfrac{a+b+c}{2}$

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Đúng(0)

T

tnt

12 tháng 5 2023 - olm

Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn $abc$=1. Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}$+$\dfrac{1}{b^3\left(a+c\right)}$+$\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}$≥$\dfrac{3}{2}$

#Toán lớp 8

1

LS

Lê Song Phương

12 tháng 5 2023

Đặt $P=\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}$

$P=\dfrac{\left(abc\right)^2}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(abc\right)^2}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{\left(abc\right)^2}{c^3\left(a+b\right)}$

$P=\dfrac{\left(bc\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ca\right)^2}{b\left(c+a\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c\left(a+b\right)}$

$P\ge\dfrac{\left(bc+ca+ab\right)^2}{a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)}$ (BĐT B.C.S)

$=\dfrac{ab+bc+ca}{2}$ $\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abbcca}}{2}=\dfrac{3}{2}$ (do $abc=1$).

ĐTXR $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Đúng(0)

AP

Aeri Park

19 tháng 6 2017

Chứng minh bất đẳng thức với a, b, c là số dương

a, (a+b+c) $(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$$\ge9$

b, $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge1,5$

#Toán lớp 8

2

TN

T.Thùy Ninh

19 tháng 6 2017

$a,\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+1$$\Leftrightarrow3+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\ge3+2+2+2=9\Rightarrowđpcm$b, Đặt $x=b+c;y=a+c;a+b=z$

Khi đó :

$=\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)-3\right]$ $\ge\dfrac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=1,5\Rightarrowđpcm$

Đúng(0)

AP

Aeri Park

19 tháng 6 2017

Camon nha~

Đúng(0)

T

tep.

5 tháng 3 2022

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng ∑$\dfrac{1}{a+3b}$≥ ∑$\dfrac{1}{a+3}$

#Toán lớp 8

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

5 tháng 3 2022

Ta có:

$\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{c+3}\ge\dfrac{4}{a+3b+c+3}=\dfrac{4}{2b+6}=\dfrac{2}{b+3}$

Tương tự:

$\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{a+3}\ge\dfrac{2}{c+3}$

$\dfrac{1}{c+3a}+\dfrac{1}{b+3}\ge\dfrac{2}{a+3}$

Cộng vế:

$\sum\dfrac{1}{a+3b}+\sum\dfrac{1}{a+3}\ge\sum\dfrac{2}{a+3}$

$\Rightarrow\sum\dfrac{1}{a+3b}\ge\sum\dfrac{1}{a+3}$ (đpcm)

Đúng(2)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP