Với a,b,c là các số dương. Chứng minh (a+b+c)(\(\dfrac{1}{a}\)+

\(\dfrac{1}{a}\)+

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Mua vip

T

tramy

13 tháng 7 2021

Với a,b,c là các số dương. Chứng minh (a+b+c)(\(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{b}\)+\(\dfrac{1}{c}\))≥9

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

TC

Trên con đường thành công không có....

13 tháng 7 2021

undefined

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

AP

Aeri Park

19 tháng 6 2017

Chứng minh bất đẳng thức với a, b, c là số dương

a, (a+b+c) \((\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\)\(\ge9\)

b, \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge1,5\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

2

TN

T.Thùy Ninh

19 tháng 6 2017

\(a,\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+1\)\(\Leftrightarrow3+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\ge3+2+2+2=9\Rightarrowđpcm\)b, Đặt \(x=b+c;y=a+c;a+b=z\)

Khi đó :

\(=\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)-3\right]\) \(\ge\dfrac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=1,5\Rightarrowđpcm\)

AP

Aeri Park

19 tháng 6 2017

Camon nha~

TB

TTN Béo *8a1*

29 tháng 11 2017

Chứng minh rằng với mọi a,b,c >0 thì

(a+b+c)(\(\dfrac{1}{a+b}\)+\(\dfrac{1}{b+c}\)+\(\dfrac{1}{c+a}\)) >_ \(\dfrac{9}{2}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

NX

Nguyễn Xuân Tiến 24

29 tháng 11 2017

C1:Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM ta có:

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{1^2}{a+b}+\dfrac{1^2}{b+c}+\dfrac{1^2}{c+a}\ge\)

\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow A=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)=\left(a+b+c\right).\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{9}{2}\)Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

C2: Khai triển

\(A=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)=\)

\(=1+\dfrac{c}{a+b}+1+\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}\) (bn tự khai triển đầy đủ nha)

Áp dụng BĐT Nesbitt ta có:

\(A=\left(1+1+1\right)+\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\ge\)

\(\left(1+1+1\right)+\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

MN

minh nguyet

15 tháng 4 2018

Cho a, b là các số dương. Chứng minh: \(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{b}\)=>\(\dfrac{4}{a+b}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

5

PN

Phạm Nguyễn Tất Đạt

15 tháng 4 2018

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

=>đpcm

LT

Lưu Thị Thu Kiều

15 tháng 4 2018

Biến đổi tương đương:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b} \\ \Leftrightarrow \frac{a+b}{ab} \geq \frac{4}{a+b} \\ \Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{ab(a+b)} \geq \frac{4ab}{ab(a+b)}$

Biểu thức trên luôn đúng do:

$\begin {cases} a+b >0 \\ ab>0 \\ a^2+b^2 \geq 2ab \to (a+b)^2 \geq 4ab \end {cases}$

NT

Nguyễn Trần Tuấn Anh

8 tháng 4 2018

B=\([\)\(\dfrac{1}{a^2}\)+\(\dfrac{1}{b^2}\)+\(\dfrac{2}{a+b}\).\(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{b}\)\(]\):\(\dfrac{a^2+b^2+2ab}{ab}\)

a) Rút gọn B

b) Chứng minh rằng B>4 nếu a, b là các số dương khác nhau. Thỏa mãn a+b=1

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

0

TT

Thắng Tran Duc

25 tháng 5 2018

Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{a+b}{c}\) + \(\dfrac{b+c}{a}\) +\(\dfrac{c+a}{b}\)≥4(\(\dfrac{a}{b+c}\)+\(\dfrac{b}{c+a}\)+\(\dfrac{c}{a+b}\))

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

27 tháng 5 2018

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)(a+b)\ge (1+1)^2\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow \frac{c}{a}+\frac{c}{b}\geq \frac{4c}{a+b}\)

Hoàn toàn tương tự: \(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{4a}{b+c}; \frac{b}{a}+\frac{b}{c}\geq \frac{4b}{a+c}\)

Cộng theo vế các BĐT thu được:

\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geq 4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

BA

bababa ânnnanana

2 tháng 1 2019

Với a,b,c,d dương. Chứng minh rằng F = \(\dfrac{a}{b+c}\) \(+\) \(\dfrac{b}{c+d}\) \(+\) \(\dfrac{c}{d+a}\)\(+\) \(\dfrac{d}{a+b}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

0

JC

Jeon Cúc

26 tháng 12 2018

Coi a,b,c là nguyên dương. Cho S₁= \(\dfrac{a^2}{a+b}\) + \(\dfrac{b^2}{b+c}\) + \(\dfrac{c^2}{c+a}\) ; S₂= \(\dfrac{a^2}{a+c}\) + \(\dfrac{b^2}{a+b}\) + \(\dfrac{c^2}{b+c}\)

Chứng minh S₁=S_{2 ;}S₁≥ \(\dfrac{a+b+c}{2}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

0

HK

Huỳnh Kiệt

15 tháng 4 2018

Cho a, b là các số dương. Chứng minh \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)≥\(\dfrac{4}{a+b}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

2

PK

Phùng Khánh Linh

15 tháng 4 2018

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) ≥ \(\dfrac{4}{a+b}\)

Do : a > 0 , b > 0

=> a + b > 0

Nhân từng vế của BĐT cần CM với a + b , ta có :

\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\) ≥ \(\left(\dfrac{4}{a+b}\right)\left(a+b\right)\)

<=> 1 + \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) + 1 ≥ 4

<=> 2 + \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) ≥ 4 ( 1)

Áp dụng BĐT : \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) ≥ 2

(1) <=> 2 + 2 ≥ 4 ( luôn đúng )

KL.....

KK

kuroba kaito

15 tháng 4 2018

Câu hỏi của Nguyễn Ngọc Anh Thy - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

TT

Tô Thu Huyền

25 tháng 3 2018

1.Cho các số dương a,b. Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{b}\)≥\(\dfrac{4}{a+b}\)

2. Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

2

HH

hattori heiji

25 tháng 3 2018

1) xét hiệu

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}\ge0\)

<=> \(\dfrac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\dfrac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}-\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

=> b(a+b)+a(a+b)-4ab ≥ 0

<=> ab+b²+a²+ab-4ab ≥ 0

<=> a² -2ab+b² ≥ 0

<=> (a-b)² ≥ 0 (luôn đúng )

=> đpcm

PN

Phạm Nguyễn Tất Đạt

25 tháng 3 2018

2)Ta có:\(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

TT\(\Rightarrow\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(c+a\right)^2\ge4ca\)

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\ge64a^2b^2c^2\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

NN

Nguyễn Ngọc Trâm

15 tháng 5 2018

cho a b c dương

chứng minh:\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\) >= \(\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

PN

Phạm Nguyễn Tất Đạt

15 tháng 5 2018

AM-GM:

\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b^2}\cdot\dfrac{1}{a}}=\dfrac{2}{b}\)

\(\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{2}{c}\)

\(\dfrac{c}{a^2}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a}\)

Cộng vế theo vế ta có:\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)(đpcm)