Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Theo bđt cauchy ta có:
\(a^3+b^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^3.b^6}=3ab^2\)
\(a^3+a^3+b^3\ge3a^2b\)
công vế theo vế ta có \(3\left(a^3+b^3\right)\ge3ab^2+3a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\(\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)
suy ra đpcm
ta luôn có \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2+b^2\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(a^2+b^2\right)}{4}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a^2+b^2\right)}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2^2}=\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
suy ra đpcm
Cho \(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{ab}{cd}\) với ( với a, b, c, d khác 0, và c \(\ne\pm d\) ). Chứng minh rằng hoặc \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) hoặc \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{d}{c}\) ?
ta có : \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}\Leftrightarrow ab=c^2\)
khi đó ta có : \(\dfrac{b-a}{a}=\dfrac{b^2-a^2}{a^2+c^2}\Leftrightarrow\dfrac{b-a}{a}=\dfrac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{a^2+ab}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b-a}{a}=\dfrac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{a\left(a+b\right)}\Leftrightarrow\dfrac{b-a}{a}=\dfrac{b-a}{a}\) (luôn đúng)
\(\Rightarrow\) (đpcm)
ta có \(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{ab}{cd}\Rightarrow ab.\left(c^2+d^2\right)=cd.\left(a^2+b^2\right)\)
suy ra \(ab.\left(c^2+d^2\right)\)=\(abc^2+abd^2=acbc+adbd\) (1)
\(cd\left(a^2+b^2\right)=a^2cd+b^2cd+bcbd\) =acad+bcbd (2)
(1);(2) suy ra acbc+adbd=acad+bcbd
nên bc+ad=bc+ad
suy ra ad=bc nên \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
Theo đề bài ta có :
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
Đặt \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=k\) ( 1 )
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(k=\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{c+d}\)
\(k^2=\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\) ( 2 )
Mà từ ( 1 ) = > \(k^2=\dfrac{a}{c}.\dfrac{b}{d}=\dfrac{ab}{cd}\) ( 3 )
Từ ( 2 ) , ( 3 )
= > \(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\) ( đpcm )
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk,c=dk\)
Ta có: \(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{bkb}{dkd}=\dfrac{b^2k}{d^2k}=\dfrac{b^2}{d^2}=\dfrac{b}{d}\left(1\right)\)
\(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\dfrac{\left(bk-b\right)^2}{\left(dk-d\right)^2}=\dfrac{bk-b}{dk-d}=\dfrac{b\left(k-1\right)}{d\left(k-1\right)}=\dfrac{b}{d}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{b^2k}{d^2k}=\dfrac{b^2}{d^2}\\ \dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\dfrac{\left(bk-b\right)^2}{\left(dk-d\right)^2}=\dfrac{b^2\left(k-1\right)^2}{d^2\left(k-1\right)^2}=\dfrac{b^2}{d^2}\\ \Rightarrow\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)
\(\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\Leftrightarrow\dfrac{1}{c}.2=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{c}=\dfrac{a+b}{ab}\Leftrightarrow2ab=\left(a+b\right)c\)
\(\Leftrightarrow ab+ab=ac+bc\)
\(\Leftrightarrow ab-bc=ac-ab\Leftrightarrow b\left(a-c\right)=a\left(c-b\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{a-c}{c-b}\)
Bài này mình cũng đã trả lời rồi đấy ạ =))
a) Đề là chứng minh \(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\dfrac{a}{b}\) à bạn?
Ta có: \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}\)
\(\Rightarrow ab=c^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\dfrac{a^2+ab}{b^2+ab}=\dfrac{a\left(a+b\right)}{b\left(a+b\right)}=\dfrac{a}{b}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
b)
Ta có: \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{d}\)
\(\Rightarrow c^2=ab\)
\(\Rightarrow\dfrac{b^2-a^2}{a^2+c^2}=\dfrac{b^2-a^2}{a^2+ab}=\dfrac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{a\left(a+b\right)}=\dfrac{b-a}{a}\)
\(\Rightarrowđpcm.\)
Bài này áp dụng BĐT B.C.S là ra nhé
Ta có \(VT=\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+a}=a+b+c=VP\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}\Leftrightarrow a=b=c\)
(*) BĐT B.C.S phát biểu như sau:
Cho \(2n\) số thực \(a_1,a_2,...,a_n,x_1,x_2,...,x_n\), trong đó \(a_i>0,\forall i\in\left\{1,2,...,n\right\}\). Khi đó ta có:
\(\dfrac{x_1^2}{a_1}+\dfrac{x_2^2}{a_2}+...+\dfrac{x_n^2}{a_n}\ge\dfrac{\left(x_1+x_2+...+x_n\right)^2}{a_1+a_2+...+a_n}\) (*)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{x_1}{a_1}=\dfrac{x_2}{a_2}=...=\dfrac{x_n}{a_n}\)
Trước tiên, ta chứng minh (*) đúng với \(n=2\). Thật vậy:
Với \(x,y\inℝ;a,b>0\), thì ta cần chứng minh
\(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{bx^2+ay^2}{ab}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(bx^2+ay^2\right)\ge ab\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow abx^2+a^2y^2+b^2x^2+aby^2\ge abx^2+aby^2+2abxy\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow ay=bx\Leftrightarrow\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}\)
Để chứng minh với \(n\ge3\) thì bạn chỉ cần dùng nhiều lần BĐT cho 2 phân thức là được.
VD: \(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{a+b}+\dfrac{z^2}{c}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)
Vậy BĐT được chứng minh.