![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta luôn có :
\(\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\ge0\forall a,b\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b\right)}{ab}\ge\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{2\left(a+b\right)}{ab}}\ge\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế :
\(\sqrt{2}\left(\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}\right)\)
\(\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}\ge\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Chúc bạn học tốt !!!
Đặt \(\frac{1}{\sqrt{a}}=x,\frac{1}{\sqrt{b}}=y,\frac{1}{\sqrt{c}}\)=z
Thay vào ta có:\(\sqrt{2}\)(x+y+x)\(\le\)\(\sqrt{\left(x^2+y^2\right)}+\sqrt{x^2+z^2}+\sqrt{\left(y^2+z^2\right)}\)
Ta có bất đẳng thức sau A: (m2+n2)(p2+q2)\(\ge\)(mp+nq)2 dễ dàng chứng mình bằng cách khai triển
áp dụng bdt A với m=x,n=z,p=\(\sqrt{2}\).q=\(\sqrt{2}\) ta được
\(\sqrt{\frac{\left(x^2+z^2\right)\left(\sqrt{2}^2+\sqrt{2}^2\right)}{4}}\ge\sqrt{\left(x\sqrt{2}+z\sqrt{2}\right)^2}\)/2=\(\frac{\sqrt{2}\left(x+y\right)}{2}\)
Tương tự với cái phần tử còn lại ta được điều cần cm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\)+\(\frac{4\sqrt{ab}}{a+b}\)-\(\frac{3ab}{a+b}\)\(\ge\)\(\frac{5}{2}\)(*)
Nhưng mà theo bất đẳng thức AM-GM thì (*) tương đương với
2\(\sqrt{\frac{a+b}{\sqrt{ab}}.\frac{4\sqrt{ab}}{a+b}}\)-\(\frac{3\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}}\)\(\ge\)\(\frac{5}{2}\)
và tương đương với 4-\(\frac{3}{2}\)\(\ge\)\(\frac{5}{2}\)hiển nhiên đúng nên (*) đúng hay ta có đpcm
Vậy \(\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\)\(\ge\)\(\frac{5}{2}\)
dấu đẳng thức xảy ra khi a=b
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta chứng minh
\(\sqrt{a+bc}\ge1a+\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow a\ge a^2+2a\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow a\left(1-a-2\sqrt{bc}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(b+c-2\sqrt{bc}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\ge0\)(đúng)
Từ đây ta suy ra được
\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT Bunhiakovsky:
\(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
\(\ge\sqrt{\left(\sqrt{a}.\sqrt{a}+\sqrt{b}.\sqrt{c}\right)^2}=a+\sqrt{bc}\) (1)
Tương tự: \(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca}\) (2)
và: \(\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\) (3)
Cộng (1), (2) và (3), kết hợp với a+b+c=1 ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) ... \(\Leftrightarrow\) \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(x=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=x^2-2\)
Xét mẫu thức : \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=x^2-x-2=\left(x+1\right)\left(x-2\right)\)
Thay \(x=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\) được mẫu thức : \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right).\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\)
Ta có : \(P=\frac{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2}{\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)}=\frac{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right).\frac{\left(a-b\right)^2}{a^2b^2}}{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right).\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{a^2b^2}.\frac{ab}{\left(a-b\right)^2}=\frac{1}{ab}\) (đpcm)
b) Áp dụng bđt Cauchy :
\(1=4a+b+\sqrt{ab}\ge2\sqrt{4a.b}+\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow5\sqrt{ab}\le1\Rightarrow ab\le\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{ab}\ge25\) . Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}4a+b+\sqrt{ab}=1\\4a=b\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=\frac{1}{10}\\b=\frac{2}{5}\end{cases}\)
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 25 tại \(\left(a;b\right)=\left(\frac{1}{10};\frac{2}{5}\right)\)
pn ơi , bđt cauchy : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
s lại là \(2\sqrt{4a.b}+\sqrt{ab}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
CM cái sau:
Ta có: \(a+\frac{1}{a}=\frac{a}{1}+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{1}.\frac{1}{a}}=2.1=2\) (bất đẳng thức Cauchy)
Chứng minh:
\(\left(a-b\right)^2\ge0\left(\forall a,b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
(áp dụng vào cái trên)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(a=\frac{1}{a}\Leftrightarrow a^2=1\Rightarrow a=1\left(a>0\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a/ \(\frac{b}{b}.\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\frac{c}{c}.\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\frac{a}{a}.\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\)
\(\le\frac{1}{b}.\left(\frac{3b^2+a^2}{4}\right)+\frac{1}{c}.\left(\frac{3c^2+b^2}{4}\right)+\frac{1}{a}.\left(\frac{3a^2+c^2}{4}\right)\)
\(=\frac{1}{4}.\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{3}{4}.\left(a+b+c\right)\)
Ta cần chứng minh
\(\frac{1}{4}.\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{3}{4}.\left(a+b+c\right)\le\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\ge\left(a+b+c\right)\)
Mà: \(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Vậy có ĐPCM.
Câu b làm y chang.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(VT=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b
Ta có:\(\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}=\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\) (1)
Mặt khác: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\left(đpcm\right)\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2>=0\)(luôn đúng)