Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chỉ cần chú ý:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2c\)
Từ đó thiết lập 2 BĐT còn lại tương tự rồi cộng theo vế thu được đpcm.
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky :
\(\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)\left(abc+abc+abc\right)\ge\left(ab+bc+ac\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{3abc}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy
\(\hept{\begin{cases}a^2b^2+b^2c^2\ge2ab^2c\\a^2b^2+c^2a^2\ge2a^2bc\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\\b^2c^2+c^2a^2\ge2abc^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2\ge3\left(a+b+c\right)\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
Chúc bạn học tốt !!!
a) \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a,b\) )
=>đpcm
Cô si
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ca}{b}}=2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b}\cdot\frac{ab}{c}}=2a\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b\)
Cộng lại ta có:
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\Rightarrowđpcm\)
.
a)\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+ab+b^2}{4}\ge0\)\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}}{4}\ge0\left(đpcm\right)\)
Vậy \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
b) Áp dụng Cauchy, ta có:
\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{a}.\dfrac{ca}{b}}=2c\)
Tương tự: \(\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge2a\)
\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2b\)
Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh rồi rút gọn ta được đpcm.
Nhìn giả thiết thấy nản quả:(
BĐT \(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b\right)}{a^2+b^2}\le3\left(ab+bc+ca\right)\) (nhân ab +bc +ca vào hai vế)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b\right)}{a^2+b^2}\le3\left(a+b+c\right)\) (chú ý giả thiết ab + bc +ca = a + b + c)
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2}+\Sigma_{cyc}\frac{c\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}\)
\(\le\Sigma_{cyc}\frac{ab\left(a+b\right)}{2ab}+\Sigma_{cyc}\frac{2c\left(a^2+b^2\right)}{a^2+b^2}=3\left(a+b+c\right)\)
Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
a) Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương ta có :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)
b) \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
CMTT như câu a ta đc :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b;\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a;\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)
Do đó : \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2a+2b+2c\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)
a. Áp dung BĐT AM-GM:
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2\sqrt{b^2}=2b\)
b. Áp dung BĐT AM-GM:
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
Xảy ra đẳng thức khi \(a=b=c>0\)
\(\text{Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có: }\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{acb^2}{ac}}=2\sqrt{b^2}=2b\)
\(\text{tương tự: }\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c;\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\)
\(\text{cộng vế theo vế ta được: }2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\Leftrightarrow\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
\(\text{BĐT đc c/m}\)
Áp dụng BĐT Cô - si ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge\sqrt{\frac{ab^2c}{ac}}=2\sqrt{b^2}=2b\\\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge\sqrt{\frac{abc^2}{ab}}=2\sqrt{c^2}=2c\\\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge\sqrt{\frac{bca^2}{bc}}=2\sqrt{a^2}=2a\end{cases}}\)
Cộng vế theo vế ta được :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a+2b+2c\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
\(a,b>0\Rightarrow\frac{1}{a};\frac{1}{b}>0\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\)
trả lời
dùng bất đẳng thức cosi cho 2 số ko âm
sử dụng cộng mỗi cặp trên
đc 3 cặp
cộng lại là ra
ta có : \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a;\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\)
Do đó : \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2b+2a+2c\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)