Question

[Pham Tien Dat]

Viết đa thức \(f\left(x\right)=\left(x^2+2x-2\right)^8\) dưới dạng \(f\left(x\right)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{16}x^{16}\). Tính tổng \(S=a_1+a_3+...+a_{15}\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(S_0=a_0+a_1+...+a_{16}=f\left(1\right)=1\)

Số hạng tổng quát trong khai triển:

\(\sum\limits^8_{k=0}C_8^k\left(x^2+2x\right)^k\left(-2\right)^{8-k}=\sum\limits^8_{k=0}C_8^k\left(-2\right)^{8-k}\sum\limits^k_{i=0}C_k^ix^{2i}\left(2x\right)^{k-i}\)

\(=\sum\limits^8_{k=0}\sum\limits^k_{i=0}C_8^kC_k^i\left(-2\right)^{8-k}2^{k-i}x^{i+k}\)

Số hạng không chứa x thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}0\le i\le k\le8\\i+k=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow i=k=0\Rightarrow a_0=C_8^0C_0^0\left(-2\right)^82^0=2^8\)

Số hạng chứa \(x^{16}\) thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}0\le i\le k\le8\\i+k=16\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow i=k=8\Rightarrow a_{16}=C_8^8C_8^8\left(-2\right)^0.2^0=1\)

\(\Rightarrow S=S_0-\left(a_0+a_{16}\right)=-2^8\)