Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a.
+ Trong $\Delta ABC$, đường cao $AH$ và $CE$ cắt nhau tại $H$
$\Rightarrow H$ là trực tâm của $\Delta ABC$.
$\Rightarrow BH \perp AC$.
+ Ta có $\widehat{HDB} = 90^{\circ}$ ($AD \perp BC$) và
$\widehat{HEB} = 90^{\circ}$ ($CE \perp AB$)
$\Rightarrow \widehat{HDB} + \widehat{HEB} = 180^{\circ}$.
Mà trong tứ giác $HEBD$, $\widehat{HDB}$ và $\widehat{HEB}$ là hai góc đối nhau.
Suy ra $HEBD$ là tứ giác nội tiếp.
b.
Xét $\Delta MBA$ và $\Delta MAC$ có:
$\widehat{AMC}$ chung
$\widehat{MAB} = \widehat{MCA}$ (cùng chắn cung $AB$)
$\Rightarrow \Delta MBA \sim \Delta MAC$ (g.g)
$\Rightarrow \dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MA}{MC}$
$\Rightarrow MA^2 = MB.MC$.
c.
Kẻ đường kính $AG$ và $AD$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $E$.
Ta có $\widehat{BCE} = \widehat{BAE}$ (cùng chắn cung BE$)
Mà $\widehat{BAE} = \widehat{DCE}$ (cùng phụ với $\widehat{ABC}$)
$\Rightarrow \widehat{BCE} = \widehat{DCE}$
Xét $\Delta CHD$ và $\Delta CED$ có:
$\widehat{BCE} = \widehat{DCE}$
$CD$ chung
$\widehat{CDH} = \widehat{CDE} = 90^{\circ}$
$\Rightarrow \Delta CHD = \Delta CED$ (g.c.g)
$\Rightarrow \widehat{HCD} = \widehat{ECD}$ hay $CD$ vừa là đường cao, vừa là phân giác của $\Delta CHE$.
$\Rightarrow \Delta CHE$ cân tại $C \Rightarrow CD$ là trung trực của đoạn thẳng $HE$.
Suy ra $NH = NE$ (do $N$ thuộc $CD$) (1)
Chứng minh $CBEG$ là hình thang cân
Vì $\widehat{AEG} = 90^{\circ}$ nên $AE \perp GE$
Mà $AE \perp BC$ nên $CB // EG$
Suy ra $CBEG$ là hình thang mà hình thang nội tiếp đường tròn $(O)$ nên $CBEG$ là hình thang cân.
$N$ là trung điểm $BC$ nên $\Delta NCG = \Delta NBE$ (c.g.c)
Suy ra $NE = NG$ (2)
Ta có $\widehat{NFG } = 90^{\circ} \Rightarrow NG>NF$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $NH > NF$.
a: góc MNO+góc MPO=180 độ
=>MNOP nội tiếp
Xét (O) có
MN,MP là tiếp tuyến
=>MN=MP
mà ON=OP
nên OM là trung trực của NP
=>OM vuông góc HP
b: ΔOMN vuông tại N có NH vuông góc OM
=>MH*MO=MN^2
Xét ΔMAN và ΔMNB có
góc MNA=góc MBN
góc M chung
=>ΔMAN đồng dạng với ΔMNB
=>MN^2=MA*MB=MH*MO
=>MA/MH=MO/MB
=>ΔMAH đồng dạng với ΔMOB
=>góc MHA=góc MBO
=>góc MHA=góc BHO
=>góc AHN=góc BHN
=>HN là phân giác của góc AHB
Lời giải:
a) Vì $SB, SC$ là tiếp tuyến $(O)$ nên $SB\perp OB, SC\perp OC$
$\Rightarrow \widehat{OBS}=\widehat{OCS}=90^0$
Tứ giác $SBOC$ có tổng 2 góc đối nhau $\widehat{OBS}+\widehat{OCS}=90^0+90^0=180^0$ nên $SBOC$ là tứ giác nội tiếp.
b)
$\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $BC$ nên $BFEC$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{IFB}=\widehat{AFE}=\widehat{ACB}(1)$
Mà:
$\widehat{IBF}=\widehat{IBA}=\widehat{ACB}(2)$ (góc nt tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp chắn cung đó)
Từ $(1);(2)\Rightarrow \widehat{IFB}=\widehat{IBF}$
$\Rightarrow \triangle IFB$ cân tại $I$
$\Rightarrow IF=IB$
c)
$\widehat{FAK}=\widehat{BAO}=\frac{180^0-\widehat{AOB}}{2}=90^0-\widehat{ACB}=\widehat{CAD}(3)$
$\widehat{AFK}=\widehat{AFE}=\widehat{ACB}=\widehat{ACD}(4)$
Từ $(3);(4)\Rightarrow \triangle AFK\sim \triangle ACD$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AF}{AC}=\frac{FK}{CD}(*)$
Mặt khác:
Dễ thấy $\triangle AFE\sim \triangle ACB$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AF}{AC}=\frac{FE}{CB}(**)$
Từ $(*);(**)\Rightarrow \frac{FK}{CD}=\frac{EF}{BC}$
$\Rightarrow FK.BC=EF.CD$ (đpcm)
