Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(\widehat{AHC}=\widehat{AEC}=90^0\) nên 4 điểm A, H, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
Gọi I là giao điểm của AC và BD
Ta có \(\widehat{HIE}=2\widehat{HAE}=2\left(180^0-\widehat{BCD}\right)\)
Các tứ giác AKED, AKHB nội tiếp nên \(\widehat{EKD}=\widehat{EAD}\) và \(\widehat{BKH}=\widehat{BAH}\)
Do đó \(\widehat{HKE}=180^0-\widehat{AKD}-\overrightarrow{BKH}=180^0-\overrightarrow{EAD}-\overrightarrow{BAH}=2\overrightarrow{HAE}=2\left(180^0-\overrightarrow{BCD}\right)=\overrightarrow{HIE}\)
Vậy tứ giác HKIE nội tiếp. Do đó I thuộc đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác HKE
- Gọi \(C\left(c;c-3\right)\in d\left(c>0\right)\Rightarrow I\left(\frac{c-2}{2};\frac{c-4}{2}\right)\)
Do I thuộc (C) nên có phương trình :
\(c^2-c-2=0\Leftrightarrow c=2\) V c=-1 (loại c=-1) Suy ra \(C\left(2;-1\right);I\left(0;-1\right)\)
- Điểm E, H nằm trên đường tròn đường kính AC và đường tròn (C) nên tọa độ thỏa mãn hệ phương trình :
\(\begin{cases}x^2+y^2+x+4y+3=0\\x^2+\left(y+1\right)^2=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=0;y=-3\\x=-\frac{8}{5};y=-\frac{11}{2}\end{cases}\)
- Vì H có hoành độ âm nên \(H\left(-\frac{8}{5};-\frac{11}{5}\right);E\left(0;-3\right)\) Suy ra \(AB:x-y+1=0;BC:x-3y-5=0\)
Tọa độ B thỏa mãn \(\begin{cases}x-y+1=0\\x-3y-5=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow B\left(-4;-3\right)\Rightarrow\overrightarrow{BA}=\left(2;2\right);\overrightarrow{BC}=\left(6;2\right)\Rightarrow\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=16>0\)
Vì \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow D\left(4;1\right)\)
Vậy \(B\left(-4;-3\right);C\left(2;-1\right);D\left(4;1\right)\)
Gọi \(D\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-3;-1\right)\\\overrightarrow{DC}=\left(5-x;1-y\right)\end{matrix}\right.\)
ABCD là hình bình hành \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5-x=-3\\1-y=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=8\\y=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow D\left(8;2\right)\)
\(BM=\frac{3\sqrt{2}}{2};AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\frac{3\sqrt{10}}{2}\)
Kẻ \(BH\perp AM\Rightarrow\) đường thẳng BH có 1 vtpt là \(\overrightarrow{n_{BH}}=\left(1;-3\right)\)
\(\Rightarrow\) phương trình BH:
\(1\left(x-4\right)-3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-3y-1=0\)
\(\Rightarrow\) tọa độ H là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}3x+y-7=0\\x-3y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(\frac{11}{5};\frac{2}{5}\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(\frac{MH}{AM}=\left(\frac{BM}{AM}\right)^2=\frac{1}{5}\Rightarrow4.\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{HA}\)
Gọi \(M\left(a;7-3a\right)\Rightarrow\overrightarrow{MH}=\left(\frac{11}{5}-a;3a-\frac{33}{5}\right)\)
\(\Rightarrow A\left(11-4a;12a-26\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{BM}=\left(a-4;6-3a\right)\\\overrightarrow{BA}=\left(7-4a;12a-27\right)\end{matrix}\right.\)
\(BM\perp AB\Rightarrow\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{BA}=0\Rightarrow\left(a-4\right)\left(7-4a\right)+\left(6-3a\right)\left(12a-27\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-40a^2+176a-190=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=\frac{5}{2}\\a=\frac{19}{10}\end{matrix}\right.\)
- Với \(a=\frac{5}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(1;4\right)\\M\left(\frac{5}{2};\frac{-1}{2}\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=2x_M-x_B=1\\y_C=2y_M-y_B=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(1;-2\right)\)
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow D\left(-2;1\right)\)
- Với \(a=\frac{19}{10}\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(\frac{17}{5};\frac{-16}{5}\right)\\M\left(\frac{19}{10};\frac{13}{10}\right)\end{matrix}\right.\)
Tính tọa độ B, C tương tự như trên
//Đề bài chắc chắn bạn chép sai, M không thể có hoành độ âm (cả 2 giá trị hoành độ nhận được đều dương)
Do C thuôc trục hoành nên tọa độ có dạng \(C\left(c;0\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(c+2;-4\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(c-8;-4\right)\end{matrix}\right.\)
Do tam giác ABC vuông tại C \(\Rightarrow\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=0\)
\(\Rightarrow\left(c+2\right)\left(c-8\right)+16=0\)
\(\Rightarrow c^2-6c=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=0\\c=6\end{matrix}\right.\)
Vậy có 2 điểm C thỏa mãn là \(C\left(0;0\right)\) và \(C\left(6;0\right)\)
1, Gọi tọa độ điểm D(x;y)
Ta có:\(\overrightarrow{AB}\left(8;1\right)\)
\(\overrightarrow{DC}\left(1-x;5-y\right)\)
Tứ giác ABCD là hình bình hành khi
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)
\(\Leftrightarrow1-x=8;5-y=1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-7\\y=4\end{matrix}\right.\)
Vậy tọa độ điểm D(-7;4)
Do D nằm trên trục hoành nên tọa độ có dạng \(D\left(x;0\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{BC}=\left(2;-2\right)\\\overrightarrow{AD}=\left(x-5;-5\right)\end{matrix}\right.\)
Do BC, AD là 2 đáy hình thang \(\Rightarrow BC||AD\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AD}\) cùng phương \(\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x-5}{2}=\dfrac{-5}{-2}\)
\(\Rightarrow x-5=5\Rightarrow x=10\)
\(\Rightarrow D\left(10;0\right)\)