Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, biết rằng tập hợp các điểm M x ; y ; z  sao cho x + y + z = 3  là một hình đa diện. Tính thể tích V của khối đa diện đó

A. V = 54

B. V = 72

C. V = 36

D. V = 27

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án C.

Ta có  x + y + z = 3 ⇔ x 3 + y 3 + z 3 = 1   . Suy ra tập hợp các điểm   M x ; y ; z là 8 mặt chắn có phương trình: ;

x 3 + y 3 + z 3 = 1 ; x − 1 + y − 3 + z − 3 = 1 ; x − 3 + y − 3 + z 3 = 1

x − 3 + y 3 + z − 3 = 1 ; x 3 + y − 3 + z − 3 = 1 ; x − 3 + y 3 + z 3 = 1 ; x 3 + y − 3 + z 3 = 1 ; x 3 + y 3 + z − 3 = 1

Các mặt chắn này cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm , A − 3 ; 0 ; 0 , B 3 ; 0 ; 0 , C 0 ; − 3 ; 0 D 0 ; 3 ; 0 , E 0 ; 0 ; − 3 , F 0 ; 0 ; 3 .

Từ đó, tập hợp các điểm  M x ; y ; z    thỏa mãn   x + y + z = 3 là các mặt bên của bát diện đều  x + y + z = 3    (hình vẽ) cạnh bằng 3 2 .

Thể tích khối bát diện đều là   V = 3 2 3 . 2 3 = 36 (đvtt).