Question

[Nguyễn Minh Khánh]

Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình:

\(3x^3+x^2=3\left(\sqrt{4x-1}\right)^3+\left(4x-1\right)\)

Answer 1

[Lê Song Phương]

Điều kiện \(x\ge\dfrac{1}{4}\)

Đặt \(\sqrt{4x-1}=p\left(p\ge0\right)\), khi đó pt đã cho trở thành:

\(3x^3+x^2=3p^3+p^2\) 

\(\Leftrightarrow\left(3x^3-3p^3\right)+\left(x^2-p^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-p\right)\left(3x^2+3xp+3p^2\right)+\left(x-p\right)\left(x+p\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-p\right)\left(3x^2+3xp+3p^2+x+p\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=p\\3x^2+3xp+3p^2+x+p=0\end{matrix}\right.\)

Xét TH \(x=p\) \(\Leftrightarrow x=\sqrt{4x-1}\) \(\Rightarrow x^2=4x-1\) \(\Leftrightarrow x^2-4x+1=0\) (*)

Đến đây ta thấy \(\Delta'=\left(-2\right)^2-1.1=3>0\) nên pt (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\):

\(x_1=\dfrac{-\left(-2\right)+\sqrt{3}}{1}=2+\sqrt{3}\)  (nhận)

\(x_2=\dfrac{-\left(-2\right)-\sqrt{3}}{1}=2-\sqrt{3}\) (nhận)

Khi đó, theo hệ thức Vi-ét, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1x_2=1\end{matrix}\right.\)

Mà tổng bình phương các nghiệm của pt đã cho chính bằng \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4^2-2.1=14\)

Ta xét tiếp trường hợp \(3x^2+3xp+3p^2+x+p=0\)

(Theo mình thì trường hợp này chắc vô nghiệm)

Vậy tổng bình phương các nghiệm của pt đã cho bằng 14.