Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(4^2+1^2\right)}\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(4x+\frac{1}{x}\right)\)
Tương tự:
\(\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(4y+\frac{1}{y}\right)\)
Cộng lại ta được:
\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(4x+4y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
\(\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left[4\left(x+y\right)+\frac{4}{x+y}\right]=\frac{1}{\sqrt{17}}\left(16+1\right)=\sqrt{17}\)
Dấu "=" xảy ra tại x=y=2
1) \(x^2+y=y^2+x\Leftrightarrow x^2-y^2-\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=x\\y=1-x\end{cases}}\). Vì x,y là hai số khác nhau nên ta loại trường hợp x = y. Vậy ta có y = x-1.
\(P=\frac{x^2+\left(1-x\right)^2+x\left(1-x\right)}{x\left(1-x\right)-1}=\frac{x^2+x^2-2x+1-x^2+x}{-x^2+x-1}\)
\(=\frac{x^2-x+1}{-\left(x^2-x+1\right)}=-1\)
Đk: \(-1\le x,y,z\le1\)
Ta có: \(x\sqrt{1-y^2}\le\frac{x^2+1-y^2}{2}=\frac{x^2-y^2}{2}+\frac{1}{2}\) (bđt cosi)
CMTT: \(y\sqrt{1-z^2}\le\frac{y^2-z^2}{2}+\frac{1}{2}\)
\(z\sqrt{1-x^2}\le\frac{z^2-x^2}{2}+\frac{1}{2}\)
=> VT = \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}\le\frac{x^2-y^2}{2}+\frac{y^2-z^2}{2}+\frac{z^2-x^2}{2}+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
VP = 3/2
=> VT = VP <=> \(\hept{\begin{cases}x^2=1-y^2\\y^2=1-z^2\\z^2=1-x^2\end{cases}}\) <=> \(x^2+y^2+z^2=1-y^2+1-z^2+1-x ^2\)
<=> \(2x^2+2y^2+2z^2=3\) <=> \(x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}\)