Question

[Nguyễn Ngọc Hải]

cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH . kẻ HP vuông góc với AB(P thuộc AB) ,HQ vuông góc với AC(Q thuộc AC).Gọi K là trung điểm của HC;O là giao điểm của AH và PQ

a,Tứ giác AQHP là hình gì? Vì sao?

b,Chứng minh tam giác KQH cân và OK là đường trung trực của HQ

c,Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AOKC là hình thang cân

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác AQHP có \(\widehat{AQH}=\widehat{APH}=\widehat{PAQ}=90^0\)

nên AQHP là hình chữ nhật

b: ΔCQH vuông tại Q

mà QK là đường trung tuyến

nên KQ=KH=KC

Xét ΔKQH có KQ=KH

nên ΔKQH cân tại K

Ta có: AQHP là hình chữ nhật

=>AH cắt QP tại trung điểm của mỗi đường và AH=PQ

=>O là trung điểm chung của AH và QP

=>OA=OH=OQ=OP

Ta có: OQ=OH

=>O nằm trên đường trung trực của QH(1)

Ta có: KQ=KH

=>K nằm trên đường trung trực của QH(2)

Từ (1),(2) suy ra OK là đường trung trực của QH

c: Ta có: OK là đường trung trực của QH

=>OK\(\perp\)QH

mà AC\(\perp\)QH

nên OK//AC

=>ACKO là hình thang

Để ACKO là hình thang cân thì \(\widehat{KCA}=\widehat{OAC}\)

=>\(\widehat{HAC}=\widehat{HCA}\)

=>ΔHAC cân tại H

 mà ΔHAC vuông cân tại H

nên \(\widehat{ACH}=45^0\)

=>\(\widehat{ACB}=45^0\)