Câu hỏi của Vũ Minh Đức

Question

Cho (x^2-x+1)/(x-1)

c) Tìm x để A > 1;  
d) Tìm x nguyên để A nguyên.

Help mee!!!

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Accepted Answer

ĐKXĐ: $x\ne1$c: Để A>1 thì $A-1>0$=>$\dfrac{x^2-x+1}{x-1}-1>0$=>$\dfrac{x^2-x+1-x+1}{x-1}>0$=>$\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}>0$mà $x^2-2x+2=\left(x-1\right)^2+1>=1>0\forall x$nên x-1>0=>x>1d: Để A nguyên thì $x^2-x+1⋮x-1$=>$x\left(x-1\right)+1⋮x-1$=>$1⋮x-1$=>$x-1\in\left\{1;-1\right\}$=>$x\in\left\{2;0\right\}$Câu trả lời: ĐKXĐ: $x\ne1$c: Để A>1 thì $A-1>0$=>$\dfrac{x^2-x+1}{x-1}-1>0$=>$\dfrac{x^2-x+1-x+1}{x-1}>0$=>$\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}>0$mà $x^2-2x+2=\left(x-1\right)^2+1>=1>0\forall x$nên x-1>0=>x>1d: Để A nguyên thì $x^2-x+1⋮x-1$=>$x\left(x-1\right)+1⋮x-1$=>$1⋮x-1$=>$x-1\in\left\{1;-1\right\}$=>$x\in\left\{2;0\right\}$

Hà Tuấn An · Answer

Để giải các bài toán liên quan đến hàm số $$ A = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}, $$ ta cần phân tích hàm số này.

### 1. Tìm điều kiện để $ A > 1 $

Để tìm các giá trị của $ x $ sao cho $ A > 1 $, ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Biến đổi hàm số**:
   $$
   A = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}
   $$

Ta phân tích phân thức này bằng cách chia $ x^2 - x + 1 $ cho $ x - 1 $ bằng phép chia đa thức:

**Chia $ x^2 - x + 1 $ cho $ x - 1 $:**

- Chia $ x^2 $ cho $ x $ được $ x $.
   - Nhân $ x $ với $ x - 1 $ được $ x^2 - x $.
   - Trừ $ x^2 - x $ khỏi $ x^2 - x + 1 $ ta còn dư $ 1 $.

Vậy,
   $$
   \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = x + \frac{2}{x - 1}
   $$

2. **Đặt điều kiện $ A > 1 $**:
   $$
   x + \frac{2}{x - 1} > 1
   $$

- Trừ 1 từ cả hai vế:
     $$
     x + \frac{2}{x - 1} - 1 > 0
     $$

- Kết hợp các hạng tử:
     $$
     x - 1 + \frac{2}{x - 1} > 0
     $$

- Đặt $ t = x - 1 $, ta có:
     $$
     t + \frac{2}{t} > 0
     $$

- Phân tích bất phương trình:
     $$
     t^2 + 2 > 0
     $$

Vì $ t^2 + 2 $ luôn dương (bất kể giá trị của $ t $), bất phương trình luôn đúng với mọi giá trị của $ t \neq 0 $. Do đó, điều kiện để $ A > 1 $ là $ x \neq 1 $.

### 2. Tìm giá trị nguyên của $ x $ sao cho $ A $ là số nguyên

1. **Biến đổi hàm số**:
   $$
   A = x + \frac{2}{x - 1}
   $$

Để $ A $ là số nguyên, thì $\frac{2}{x - 1}$ phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là $ x - 1 $ phải là một ước của 2.

2. **Tìm các ước của 2**:
   - Các ước của 2 là $ \pm 1, \pm 2 $.

3. **Tìm các giá trị tương ứng của $ x $**:
   - Nếu $ x - 1 = 1 $, thì $ x = 2 $.
   - Nếu $ x - 1 = -1 $, thì $ x = 0 $.
   - Nếu $ x - 1 = 2 $, thì $ x = 3 $.
   - Nếu $ x - 1 = -2 $, thì $ x = -1 $.

4. **Kiểm tra các giá trị**:

- Với $ x = 2 $:
     $$
     A = \frac{2^2 - 2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3
     $$

- Với $ x = 0 $:
     $$
     A = \frac{0^2 - 0 + 1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1
     $$

- Với $ x = 3 $:
     $$
     A = \frac{3^2 - 3 + 1}{3 - 1} = \frac{7}{2} = 3.5
     $$
     (Không phải là số nguyên)

- Với $ x = -1 $:
     $$
     A = \frac{(-1)^2 - (-1) + 1}{-1 - 1} = \frac{3}{-2} = -1.5
     $$
     (Không phải là số nguyên)

### Kết quả:

- **Điều kiện để $ A > 1 $** là $ x \neq 1 $.
- **Các giá trị nguyên của $ x $ để $ A $ là số nguyên** là $ x = 0 $ và $ x = 2 $.Câu trả lời: Để giải các bài toán liên quan đến hàm số $$ A = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}, $$ ta cần phân tích hàm số này.