Question

[Dương Quốc Khánh]

Tìm tất cả các số tự nhiên n, biết rằng \(n+S\left(n\right)=2014\), trong đó \(S\left(n\right)\) là tổng các chứ số của n.

Answer 1

[Nguyễn Minh Quang]

rõ ràng rằng : \(n\ge S\left(n\right)\text{ với mọi số tự nhiên n}\)

nên ta có : \(2014=n+S\left(n\right)\le n+n=2n\text{ hay }n\ge\frac{2014}{2}=1007\)

mà \(n\le n+S\left(n\right)=2014\)thế nên chắc chắc rằng n là số tự nhiên có 4 chữ số, nằm trong đoạn từ 1007 đến 2014.

vì thế S(n) là tổng của 4 chữ số nên \(S\left(n\right)\le9\times4=36\Rightarrow n\ge2014-36=1978\)nên nằm trong đoạn từ 1978 đến 2014.

Gọi n có dạng \(\overline{abcd}\) dựa vào điều kiện ở trên thì a chỉ có thể bằng 1 hoặc 2

với \(a=1\Rightarrow b=9\Rightarrow\hept{\begin{cases}c\ge7\\\overline{abcd}+a+b+c+d=2014\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c\ge7\\11\times c+2\times d=104\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c=8\\d=8\end{cases}}}\)

Vậy ta thu được số \(1988\text{ thỏa mãn đề bài}\)

Với \(a=2\Rightarrow b=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}c\le1\\\overline{20cd}+2+0+c+d=2014\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c\le1\\11\times c+2\times d=12\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c=0\\d=6\end{cases}}}\)

vậy ta thu được số \(2006\text{ cũng thỏa mãn đề bài}\)