Question

[Nguyễn Minh Châu]

Tìm số tự nhiên n,m biết:\(2^m+2^n=2^{m+n}\)

Answer 1

[Trí Tiên亗]

Ta có : \(2^m+2^n=2^{m+n}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2^m+2^n}{2^{m+n}}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^m}=1\)

+) Xét \(m=0\Rightarrow\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^n}>1\) ( loại )

+) Xét \(m=1\Rightarrow\frac{1}{2^m}=\frac{1}{2}\Rightarrow n=1\) ( thỏa mãn)

+) Xét \(m>1\Rightarrow\frac{1}{2^m}< \frac{1}{2},\frac{1}{2^n}< \frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^n}< 1\) ( Do n là số tự nhiên, loại )

Vậy : \(m=1,n=1\) thỏa mãn đề.

Answer 2

[Chu Công Đức]

\(2^m+2^n=2^{m+n}\)\(\Leftrightarrow2^{m+n}-\left(2^m+2^n\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2^{m+n}-2^m-2^n=0\)\(\Leftrightarrow\left(2^{m+n}-2^m\right)-2^n+1=1\)

\(\Leftrightarrow2^m\left(2^n-1\right)-\left(2^n-1\right)=1\)\(\Leftrightarrow\left(2^m-1\right)\left(2^n-1\right)=1\)

Vì m , n là số tự nhiên \(\Rightarrow2^m-1\)và \(2^n-1\)cũng là số tự nhiên

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2^m-1=1\\2^n-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2^m=2\\2^n=2\end{cases}}\Leftrightarrow m=n=1\)

Vậy \(m=n=1\)