Question

[Nguyễn Thị Thảo An]

Tìm số tự nhiên n trong khoảng 100 đến 150 để phân số \(\dfrac{3n+2}{7n+1}\) rút gọn được.

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
Gọi $d=ƯCLN(3n+2, 7n+1)$
$\Rightarrow 3n+2\vdots d; 7n+1\vdots d$

$\Rightarrow 7(3n+2)-3(7n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 11\vdots d$
Để phân số trên rút gọn được thì $ƯCLN(3n+2, 7n+1)>1$

Hay $d>1$

$\Rightarrow d=11$

Điều này xảy ra khi: 

$3n+2\vdots 11$

$\Rightarrow 3n+2-11\vdots 11$

$\Rightarrow 3n-9\vdots 11$

$\Rightarrow 3(n-3)\vdots 11\Rightarrow n-3\vdots 11$

Đặt $n=11k+3$ với $k$ tự nhiên

$100< n< 150$

$\Rightarrow 100< 11k+3< 150$

$\Rightarrow 8,8< k< 13,3$

Mà $k$ là stn nên $k\in\left\{9; 10; 11; 12;13\right\}$

$\Rightarrow n\in \left\{102; 113; 124; 135; 146\right\}$