Question

[Lê Đình Trung]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

\(x^2=y\left(y+1\right)\left(y+2\right)\left(y+3\right)\)

Answer 1

[Trần Minh Hoàng]

PT đã cho tương đương với:

\(x^2=\left(y^2+3y\right)\left(y^2+3y+2\right)\)

Đặt y² + 3y = a.

Khi đó x² = a(a + 2).

Ta có: a = y(y + 3) luôn là số chẵn với mọi số nguyên y.

Đặt a = 2b.

Ta có: x² = 2b(2b + 2) = 4b(b + 1)

Do đó x là số chẵn. Đặt x = 2c.

Ta có: c² = b(b + 1).

Mà b, b + 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên: \(\left[{}\begin{matrix}b=0\\b=-1\end{matrix}\right.\)

Từ đó c = 0 nên x = 0.

Tại b = 0 thì a = 0 \(\Rightarrow y^2+3y=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=-3\end{matrix}\right.\)

Tại b = -1 thì a = -2 \(\Rightarrow y^2+3y=-2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-1\\y=-2\end{matrix}\right.\)

Thử lại....