PD
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KV
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 2 2021
Lời giải:
PT $\Leftrightarrow \sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}-1$
$\Rightarrow x+y+3=(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1)^2$
$\Leftrightarrow x+y+3=x+y+1-2(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy})$
$\Leftrightarrow 1+\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy}=0(*)$
$\Rightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=(\sqrt{xy}-1)^2$
$\Rightarrow 4\sqrt{xy}=xy+1-x-y\in\mathbb{Z}$
Ta có nhận xét sau: Với số không âm $a$ bất kỳ thì khi $\sqrt{a}$ là số hữu tỉ thì $\sqrt{a}$ cũng là số chính phương.
Do đó: $\sqrt{xy}$ là scp
Kết hợp $(*)$ suy ra $\sqrt{x}+\sqrt{y}\in\mathbb{Z}$
$\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=x+\sqrt{xy}\in\mathbb{Z}$
$\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{x+\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\in\mathbb{Q}$
$\Rightarrow \sqrt{x}$ là scp. Kéo theo $\sqrt{y}$ là scp.
Từ $(*)$ ta cũng có $(\sqrt{x}-1)(1-\sqrt{y})=-2$
Đến đây thì với $\sqrt{x}, \sqrt{y}\in\mathbb{Z}$ ta có pt tích khá đơn giản.
NM
2
3 tháng 6 2021
\(\sqrt{x+y+3}+1=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)
Bình phương 2 vế, ta có:
\(x+y+3+1=x+y\)
\(x+y+3+1-x-y=0\)
\(4=0\) (vô lý)
Vậy phương trình vô nghiệm
-Chúc bạn học tốt-
Y
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 3 2021
\(\Rightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{yz}=\left(x-y-z\right)+2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow4yz=\left(x-y-z\right)^2+12+4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)\)
\(\Rightarrow4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)=4yz-12-\left(x-y-z\right)^2\) (1)
\(\sqrt{3}\) là số vô tỉ nên đẳng thức xảy ra khi: \(x-y-z=0\)
Thay ngược vào (1) \(\Rightarrow yz=3\Rightarrow\left(y;z\right)=\left(1;3\right);\left(3;1\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}\Rightarrow x=4\)
MT
0
M3
1
31 tháng 12 2018
ĐKXĐ: x;y > 0
\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=y^2-x\)(bình phương + chuyển vế)
Vì \(\hept{\begin{cases}x;y\inℤ\\x;y\ge0\end{cases}\Rightarrow}x;y\inℕ\)
\(\Rightarrow y^2-x\inℕ\)(Vì VP > 0 nên VT > 0 mà 2 số này thuộc N nên hiệu của chúng thuộc N)
Đặt \(y^2-x=a\left(a\inℕ\right)\)
Khi đó \(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=a\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+\sqrt{x}}=a^2-x\)(bình phương+chuyển vế)
Tương tự như trên
Đặt \(a^2-x=b\left(b\inℕ\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{x+\sqrt{x}}=b\)
\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x}=b^2\left(1\right)\)
Từ (1) => \(\sqrt{x}\inℕ\)
Ta có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)=b^2\)
Vì \(\sqrt{x}\)và \(\sqrt{x}+1\)là 2 số tự nhiên liên tiếp
Mà b2 là số chính phương
\(\Rightarrow\sqrt{x}=0\)
\(\Rightarrow x=0\)
\(\Rightarrow y=0\)
Vậy pt có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;0)
DN
0
27 tháng 11 2021
\(\left(1+x\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{1+x\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}+x}=1\)
\(\Rightarrow1+x\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2+1}+x\)
\(\Rightarrow1+x\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+1}-x=0\)
\(\Rightarrow-\left(x-1\right)+\left(x-1\right)\sqrt{x^2+1}=0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\\sqrt{x^2+1}-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\sqrt{x^2+1}=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2+1=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=0\end{matrix}\right.\)
27 tháng 11 2021
\(a,2y^2-x+2xy=y+4\\ \Leftrightarrow2y\left(x+y\right)-\left(x+y\right)=4\\ \Leftrightarrow\left(2y-1\right)\left(x+y\right)=4=4\cdot1=\left(-4\right)\left(-1\right)=\left(-2\right)\left(-2\right)=2\cdot2\)
Vì \(x,y\in Z\Leftrightarrow2y-1\) lẻ
\(\left\{{}\begin{matrix}2y-1=1\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y-1=-1\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=0\end{matrix}\right.\)
Vậy PT có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left\{\left(3;1\right);\left(4;0\right)\right\}\)
HC
0
\(ĐK:x,y\ge0\)
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2019}\Leftrightarrow\sqrt{y}=\sqrt{2019}-\sqrt{x}\)
Bình phương hai vế ta được \(y=2019+x-2\sqrt{2019x}\Rightarrow\sqrt{2019x}\inℕ\)
Vì 2019 = 3.673 và (3;673) = 1 nên \(x=3.673.n^2=2019n^2\left(n\inℕ\right)\)
Tương tự \(y=3.673.m^2=2019m^2\left(m\inℕ\right)\)
Thay vào ta được m + n = 1\(\Rightarrow\left(m;n\right)\in\left\{\left(0;1\right);\left(1;0\right)\right\}\Rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;2019\right);\left(2019;0\right)\right\}\)
Vậy phương trình có 2 cặp nghiệm (x;y) thỏa mãn là \(\left\{\left(0;2019\right);\left(2019;0\right)\right\}\)