Question

[chu thi ngoc anh]

tìm n thuộc  N* để A=\(\sqrt[3]{2+\sqrt{n}}\)+\(\sqrt[3]{2-\sqrt{n}}\) cùng thuộc  N*

Answer 1

[Đinh Thùy Linh]

1./ Với mọi n thuộc N* thì: (1):\(\sqrt{n}+2>\sqrt{n}-2\Rightarrow\sqrt[3]{\sqrt{n}+2}>\sqrt[3]{\sqrt{n}-2}\Rightarrow A=\sqrt[3]{2+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{n}}>0\forall n\in N\cdot\)

2./ \(A^3=2+\sqrt{n}+2-\sqrt{n}+3\sqrt[3]{\left(2-\sqrt{n}\right)\left(2+\sqrt{n}\right)}\cdot\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{n}}\right)\)

\(A^3=4+3\sqrt[3]{4-n}\cdot A\)(2)

Do A thuộc N* mà A khác 0 (từ (1)) nên từ (2): \(\sqrt[3]{4-n}=\frac{A^3-4}{3A}\)là 1 số hữu tỷ. Hay: \(\sqrt[3]{4-n}=m\left(m\in Q\right)\Rightarrow n=4-m^3\).(Do n >=0 thuộc n => \(m\le\sqrt[3]{4}\); m thuộc Z) (*)

(2) trở thành: \(A^3-3m\cdot A-4=0\)(3)

Để (3) có nghiệm A tự nhiên thì A phải là ước tự nhiên của hệ số tự do ( -4). => A = 1; 2; 4.

• A = 1 => m = -1 ( TM (*) ) => n = 4 - (-1)³ = 5
• A = 2 => m = 8/6 không thuộc Z. Loại
• A = 4 => m = 5 ( không TM (*) ). Loại

Vậy, chỉ có duy nhất n = 5 (Thuộc N*) thì A = 1 thuộc N*.

Answer 2

[Minh Triều]

\(A=\sqrt[3]{2+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{n}}\)

=>A³\(=4+3\sqrt[3]{\left(2+\sqrt{n}\right).\left(2-\sqrt{n}\right)}\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{n}}\right)\)

\(\Leftrightarrow A^3=4+3\sqrt[3]{4-n}.A\)

<=>\(\frac{A^3-4}{A}=3\sqrt[3]{4-n}\)

<=>\(\left(A^2-\frac{4}{A}\right)^3=27.\left(4-n\right)\)(1)

Vì n thuộc N* nên: 27.(4-n) thuộc Z

=>\(\left(A^2-\frac{4}{A}\right)^3\)thuộc Z

=> \(A^3-\frac{4}{A}\)thuộc Z

=>A thuộc Ư(4)={1;-1;2;-2;4;-4}

Mà A thuộc N* nên: A=1;2;4

Với A=1 => PT(1) trở thành: -27=27.(4-n) =>n=5 (nhận)

Với A=2 =>PT(1) trở thành: 8=27.(4-n) =>n=100/27 (loại)

Với A=4 => PT(1) trở thành: 3375=27.(4-n) =>n=-121 (loại)

Vậy n=5