Question

[Võ Thị Ngọc Linh]

Tìm n để các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau:

    a,9n+24 và 3n+4

   b,   4n+3 và 2n+3

Answer 1

[Phạm Thái Dương]

a)1. Xét n chẵn, hai số đều chẵn => ko nguyên tố cùng nhau 
2. Xét n lẻ, ta chứng minh 2 số này luôn nguyên tố cùng nhau 
9n+24 = 3(3n+8) 
Vì 3n+4 không chia hết cho 3, nên ta xét tiếp 3n+8 
Giả sử k là ước số của 3n+8 và 3n+4, đương nhiên k lẻ (a) 
=> k cũng là ước số của (3n+8)-(3n+4) = 4 => k chẵn (b) 
Từ (a) và (b) => Mâu thuẫn 
Vậy với n lẻ, 2 số đã cho luôn luôn nguyên tố cùng nhau

b)Tương tự thôi,Số nguyên tố dễ mà,bạn tự tính nhé

Answer 2

[NGUYỄN THẾ HIỆP]

a,Đặt: UC(9n+24,3n+4)=d

=> \(\hept{\begin{cases}9n+24⋮d\\3n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow}9n+24-3\left(3n+4\right)⋮d\Leftrightarrow12⋮d\)

=> d=1,2,3,6,12

Xét thấy: 3n+4 không chia hết cho 3 nên => d\(\ne\)3,6,12 => d=1, 2

Để 9n+24 và 3n+4 nguyên tố cùng nhau <=>  9n+24 lẻ <=> 9n lẻ hay n lẻ

Vậy n lẻ thì 2 số nguyên tố cùng nhau

Cách 2: 

Xét n chẵn: => cả 2 số đều chẵn => không nguyên tố cùng nhau

Xét n lẻ: có 9n+24=3(3n+8)

Mặt khác 3n+4 không chia hết cho 3 => xét: 3n+8-(3n+4)\(⋮\)d hay 4\(⋮\)d

Mà n lẻ nên 2 số đều lẻ

=> d=1

Vậy n lẻ thì 2 số nguyên tố cùng nhau

b, Đặt: d=UC(4n+3,2n+3)

=> \(\hept{\begin{cases}4n+3⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}2\left(2n+3\right)-\left(4n+3\right)⋮d\Leftrightarrow3⋮d\)

Vậy d=1 hoặc 3

Để d=1<=> 4n+3 không chia hết cho 3 <=> n không chia hết cho 3

Vậy với n không chia hết cho 3 thì 2 số nguyên tố cùng nhau