K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
0
TN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2022
\(\dfrac{4}{3}\le a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=a+\sqrt[]{\dfrac{a}{2}.2b}+\sqrt[3]{\dfrac{a}{4}.b.4c}\)
\(\le a+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{2}+2b\right)+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{a}{4}+b+4c\right)=\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow Q\ge1\)
\(Q_{min}=1\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{16}{21};\dfrac{4}{21};\dfrac{1}{21}\right)\)
24 tháng 5 2023
a+4/a>=2*căn a*4/a=4
b+9/b>=2*căn b*9/b=6
c+16/c>=2*căn c*16/c=8
=>3a/4+b/2+c/4+3/a+9/2b+4/c>=3+3+2=8
a+2b+3c>=20
=>a/4+b/2+3c/4>=5
=>S>=13
Dấu = xảy ra khi a=2; b=3; c=4
T
19 tháng 5 2019
Em không chắc lắm đâu nhé!
Biến đổi \(A=\frac{\left(\frac{a^4}{b^2}\right)}{b\left(c+2a\right)}+\frac{\left(\frac{b^4}{c^2}\right)}{c\left(a+2b\right)}+\frac{\left(\frac{c^4}{a^2}\right)}{a\left(b+2c\right)}\)
\(=\frac{\left(\frac{a^2}{b}\right)^2}{b\left(c+2a\right)}+\frac{\left(\frac{b^2}{c}\right)^2}{c\left(a+2b\right)}+\frac{\left(\frac{c^2}{a}\right)^2}{a\left(b+2c\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:\(A\ge\frac{\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho cái biểu thức trong ngoặc ở trên tử,ta lại được:
\(A\ge\frac{\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\) (áp dụng BĐT quen thuộc \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) cho cái biểu thức dưới mẫu)
Dấu "=" xảy ra khi a = b =c
Vậy \(A_{min}=1\Leftrightarrow a=b=c\)
VT
19 tháng 9 2017
Áp dụng bất đẳng thức bu nhi a ta có
\(\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)^2\le\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\)
=> \(\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{a^3+b^3+c^3+d^3}\ge\frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a^2+b^2+c^2+d^2}\)
tương tự ta có
\(\frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a^2+b^2+c^2+d^2}\ge\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{a+b+c+d}\)
mà \(\left(a+b+c+d\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\left(1+1+1+1\right)\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge1\)
từ đó ta có
\(\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{a^3+b^3+c^3+d^3}\ge\frac{1}{2}\)
dấu = xảy ra <=> \(a=b=c=d=\frac{1}{2}\)
24 tháng 10 2020
Ta có:
\(\frac{1}{a+2}+\frac{3}{b+4}\le1-\frac{2}{c+3}\)
\(\Rightarrow1-\frac{1}{a+2}\ge\frac{3}{b+4}+\frac{2}{c+3}\ge2\sqrt{\frac{6}{\left(b+4\right)\left(c+3\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{a+2}\ge2\sqrt{\frac{6}{\left(b+4\right)\left(c+3\right)}}\left(1\right)\)
Tương tự : \(1-\frac{3}{b+4}\ge\frac{1}{a+2}+\frac{2}{c+3}\ge2\sqrt{\frac{2}{\left(a+2\right)\left(c+3\right)}}\Leftrightarrow\frac{b+1}{b+4}\ge2\sqrt{\frac{2}{\left(a+2\right)\left(c+3\right)}}\left(2\right)\)
và \(\frac{c+1}{c+3}\ge2\sqrt{\frac{3}{\left(a+2\right)\left(b+4\right)}}\left(3\right)\)
Từ 1,2,3 ta có:
\(\frac{a+1}{a+2}.\frac{b+1}{b+4}.\frac{c+1}{c+3}\ge\frac{48}{\left(a+2\right)\left(b+4\right)\left(c+3\right)}\Leftrightarrow Q\ge48\)
Vậy Min Q =48 khi a=1,b=5,c=3
Có \(a^4+b^4+c^4=\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\)
\(\ge\dfrac{\left(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right)^2}{3}\) (áp dụng 2 lần BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\))
\(=\dfrac{\left(\dfrac{4^2}{3}\right)^2}{3}=\dfrac{256}{27}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{4}{3}\)
Vậy \(minP=\dfrac{256}{27}\) khi \(a=b=c=\dfrac{4}{3}\)
Min P dễ em có thể tự tìm đơn giản bằng AM-GM
\(P=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)^2+4abc\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)^2+16abc\)
Do \(0\le a;b;c\le3\Rightarrow\left(3-a\right)\left(3-b\right)\left(3-c\right)\ge0\)
\(\Rightarrow3\left(ab+bc+ca\right)-9\left(a+b+c\right)+27-abc\ge0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge\dfrac{abc+9}{3}\)
\(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=16-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\le16-\dfrac{2}{3}\left(abc+9\right)\)
Do đó:
\(P\le\left[16-\dfrac{2}{3}\left(abc+9\right)\right]^2-2\left(\dfrac{abc+9}{3}\right)^2+16abc\)
Đặt \(abc=x\Rightarrow0\le x\le\dfrac{64}{27}\)
\(P\le\left[16-\dfrac{2}{3}\left(x+9\right)\right]^2-2\left(\dfrac{x+9}{3}\right)^2+16x\)
\(P\le\dfrac{2}{9}\left(x^2-6x+369\right)\)
\(P\le\dfrac{2}{9}x\left(x-6\right)+82\)
Do \(0\le x\le\dfrac{64}{27}\Rightarrow x-6< 0\Rightarrow\dfrac{2}{9}x\left(x-6\right)\le0\)
\(\Rightarrow P\le82\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;3\right)\) và các hoán vị