Question

[Vương Tuấn Khải]

tìm m để phương trình có nghiệm

a) \(\sqrt{x^2-1}-x=m\)

b) \(\sqrt{2x^2+mx-3}=x-m\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

a/

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-1}=x+m\) (\(x\ge-m\))

\(\Leftrightarrow x^2-1=x^2+2mx+m^2\)

\(\Leftrightarrow2mx=-1-m^2\) (\(m=0\) pt vô nghiệm)

\(\Rightarrow x=\frac{-1-m^2}{2m}\)

\(\Rightarrow\frac{-1-m^2}{2m}\ge-m\Leftrightarrow\frac{1+m^2}{2m}-m\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1-m^2}{2m}\le0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-1\le m< 0\\m\ge1\end{matrix}\right.\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

b/ \(x\ge m\)

\(\Leftrightarrow2x^2+mx-3=\left(x-m\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2x^2+mx-3=x^2-2mx+m^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+3mx-m^2-3=0\) (1)

\(ac< 0\Rightarrow\left(1\right)\) luôn luôn có nghiệm

Để (1) có 2 nghiệm thỏa mãn \(x_1< x_2< m\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(m\right)>0\\\frac{S}{2}< m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+3m^2-m^2-3>0\\-\frac{3m}{2}< m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2>1\\m>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>1\)

Vậy để pt đã cho có nghiệm thì \(m\le1\)