Question

[Phạm Minh Khôi]

Tìm m để phương trình -2sin²x +(3-2m)cosx +m=0 có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng ( \(-\frac{\pi}{2}\);\(\pi\))?

Answer 1

[Hoàng Tử Hà]

\(2\cos^2x+\left(3-2m\right)\cos x=2-m\)

\(t=\cos x\Rightarrow t\in\left[-1;1\right]\)

\(\Delta=\left(3-2m\right)^2-4.2\left(m-2\right)=4m^2-12m+9-8m+16=4m^2-20m+25=\left(2m-5\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\frac{2m-3-2m+5}{4}\\t=\frac{2m-3+2m-5}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\frac{1}{2}\\t=m-2\end{matrix}\right.\)

\(t=\frac{1}{2}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)

Vậy để có 3 nghiệm thuộc khoảng (-pi/2;pi) thì pt còn lại cần 1 nghiệm nữa khác 2 nghiệm kia cũng thuộc khoảng (-pi/2;pi)

Xét hàm cos: \(t=m-2\) trong \(\left(-\frac{\pi}{2};\pi\right)\)

Nhìn vô bbt ta thấy \(-1< t< 0\) thì phương trình có 1 nghiệm

\(\Rightarrow-1< m-2< 0\Leftrightarrow1< m< 2\)

Answer 2

[Hải Dương Hoàng]

1<=m<=2