Question

[Đoàn Thị Hồng Vân]

Tìm m để \(f\left(x\right)=x^3+mx^2+7x+3\) có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với y=3x-7

Answer 1

[Phạm Thái Dương]

Hàm số có cực đại, cực tiểu <=> \(f'\left(x\right)=3x^3+2mx+7=0\) có 2 nghiệm phân biệt

<=> \(\Delta'=m^2-21>0\Leftrightarrow\left|m\right|>\sqrt{21}\)

Thực hiện phép chia f(x) cho f'(x) ta có :

\(f\left(x\right)=\frac{1}{9}\left(3x+m\right)f'\left(x\right)+\frac{2}{9}\left(21-m^2\right)x+3-\frac{7m}{9}\)

Với \(\left|m\right|>\sqrt{21}\) thì phương trình f'(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và hàm số y=f(x) đạt cực trị tại \(x_1,x_2\)

Ta có \(f'\left(x_1\right)=f'\left(x_2\right)=0\) suy ra:

\(y_1=f\left(x_1\right)=\frac{2}{9}\left(21-m^2\right)x_1+3-\frac{7m}{9}\)

\(y_2=f\left(x_2\right)=\frac{2}{9}\left(21-m^2\right)x_2+3-\frac{7m}{9}\)

=> Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là :

\(\left(\Delta\right):y=\frac{2}{9}\left(21-m^2\right)x+3-\frac{7m}{9}\)

Ta có \(\left(\Delta\right)\perp y=3x-7\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(21-m^2\right).3=-1\Leftrightarrow m^2=\frac{45}{2}>21\)

                                        \(\Leftrightarrow m=\pm\frac{3\sqrt{10}}{2}\)