Question

[Nguyễn Trọng Hiếu]

Tìm m để \(f\left(x\right)=2x^3+3\left(m-1\right)x^2+6\left(m-2\right)x-1\) có đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu song song với đường thẳng \(y=ax+b\)

Answer 1

[Phạm Thảo Vân]

\(f'\left(x\right)=6\left[x^2+\left(m-1\right)x+\left(m-2\right)\right]=0\) 

\(\Leftrightarrow g\left(x\right)=x^2+\left(m-1\right)x+\left(m-2\right)=0\)

Hàm số có cực đại và cực tiểu 

\(\Leftrightarrow g\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta_g=\left(m-3\right)^2>0\)

                                                        \(\Leftrightarrow m\ne3\)

Thực hiện phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(g\left(x\right)\) ta có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và hàm số \(y=f\left(x\right)\) đạt cực trị tai \(x_1,x_2\)

Ta có : \(g\left(x_1\right)=g\left(x_2\right)=0\) nên suy ra :

\(y_1=f\left(x_1\right)=-\left(m-3\right)^2x_1-\left(m^2-3m+3\right)\)

\(y_1=f\left(x_2\right)=-\left(m-3\right)^2x_2-\left(m^2-3m+3\right)\)

=> Đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu là \(\left(\Delta\right)\) : \(y=-\left(m-3\right)^2x-\left(m^2-3m+3\right)\)

Ta có  \(\left(\Delta\right)\)  song song với đường thẳng \(y=ax+b\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne3\\-\left(m-3\right)^2=a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne3;a<0\\\left(m-3\right)^2=-a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a<0\\m=\pm\sqrt{a}\end{cases}\)

Vậy : Nếu a<0 thì \(m=3\pm\sqrt{-a}\)

         Nếu \(a\ge0\) thì không tồn tại m thỏa mãn