Question

[võ dương thu hà]

Tìm hàm số f thỏa mãn: x*f(y)+y*f(x)=(x+y)*f(x)*f(y) với mọi x,y thuộc R  

Answer 1

[NGUYỄN THẾ HIỆP]

P/S: Không biết thật hay đùa nhưng đây là kiến thức Chuyên Toán phục vụ thi HSG QG THPT nhé, không phải kiến thức lớp 9, anh đã đơn giản hóa nhiều chỗ để em hiểu được rồi, có nhiều chỗ em sẽ thắc mắc vì anh sử dụng từ không chuẩn để em hiểu, có gì cố gắng thi chuyên toán cấp 3 em sẽ được học thì bài này sẽ dễ nhé! Chúc em học giỏi!

Xét y=0, ta có: \(xf\left(0\right)=xf\left(x\right)f\left(0\right)\Leftrightarrow xf\left(0\right)\left(1-f\left(x\right)\right)=0\)

Ta thấy: hàm \(f\left(x\right)=1\)thỏa mãn bài toán

Xét y\(\ne0\)Có:

\(xf\left(y\right)+yf\left(x\right)-xf\left(x\right)f\left(y\right)-yf\left(x\right)f\left(y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow xf\left(y\right)\left(1-f\left(x\right)\right)=-yf\left(x\right)\left(1-f\left(y\right)\right)\)

\(\Leftrightarrow-\frac{x\left(1-f\left(x\right)\right)}{f\left(x\right)}=\frac{y\left(1-f\left(y\right)\right)}{f\left(y\right)}\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=ax+b\)thấy không thỏa mãn

Vậy \(f\left(x\right)=1\)là nghiệm duy nhất