Question

[Nguyễn Minh Huy]

tìm giá trị nhỏ nhất của biêu thức \(P=\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\) với  a,b,c là các số dương sao cho abc=1

Answer 1

[KCLH Kedokatoji]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel:

\(P=\frac{a^2}{ab+2ca}+\frac{b^2}{bc+2ab}+\frac{c^2}{ca+2bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge1\)

Cộng thêm giả thiết abc=1, suy ra dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)