Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\sqrt{x^2-6x+9+2\left(y^2+2y+1\right)}+\sqrt{x^2+2x+1+3\left(y^2+2y+1\right)}.\)
\(A=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\)
Với mọi giá trị được xác định của x; giá trị của biến y không phụ thuộc vào x, ta luôn có:
\(A=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\le\sqrt{\left(x-3\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2}\)(1)
Dấu "=" khi y = -1.
(1) \(\Rightarrow A\le\left|x-3\right|+\left|x+1\right|\)(2)
- \(x< -1\)(2) \(\Rightarrow A\le-\left(x-3\right)-\left(x+1\right)=-2x+2>4\forall x< -1\)
- \(-1\le x\le3\)(2) \(\Rightarrow A\le-\left(x-3\right)+\left(x+1\right)=4\forall-1\le x\le3\)
- \(x>3\)(2) \(\Rightarrow A\le\left(x-3\right)+\left(x+1\right)=2x-2>4\forall x>3\)
Vậy GTNN của A = 4 khi -1<= x <= 3 và y = -1.
Cần chứng minh bđt : \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)
\(\Leftrightarrow\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2=\left(\left|a+b\right|\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2\left|ab\right|+b^2\ge a^2+b^2+2ab\)
\(\Leftrightarrow\left|ab\right|\ge ab\) (luôn đúng)
Từ đó áp dụng ta được :
\(A\ge\sqrt{\left(x^2-6x+2y^2+4y+11\right)+\left(x^2+2x+3y^2+6y+4\right)}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{2x^2-4x+5y^2+10y+15}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{\left(2x^2-4x+2\right)+\left(5y^2+10y+5\right)+8}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{2\left(x-1\right)^2+5\left(y+1\right)^2+8}\ge\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) có gtnn là \(2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=1;y=-1\)
a: \(=\sqrt{x-3-2\sqrt{x-3}+3}\)
\(=\sqrt{x-3-2\sqrt{x-3}+1+2}=\sqrt{\left(\sqrt{x-3}-1\right)^2+2}>=\sqrt{2}\)
Dấu = xảy ra khi x-3=1
=>x=4
\(A=\sqrt{x^2-6x+2y^2+4y+11}+\sqrt{x^2+2x+3y^2+6y+4}\)
\(=\sqrt{\left(x^2-6x+9\right)+2\left(y^2+2y+1\right)}+\sqrt{\left(x^2+2x+1\right)+3\left(y^2+2y+1\right)}\)
\(=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(x-3\right)^2+0}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+0}\)
\(=\left|3-x\right|+\left|x+1\right|\)
\(\ge\left|3-x+x+1\right|\)
\(=4\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
\(\left(y+1\right)^2=0\Leftrightarrow y+1=0\Leftrightarrow y=-1\)
\(\left(x-3\right)\left(x+1\right)\ge0\Leftrightarrow x^2-2x-3\ge0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge4\Leftrightarrow\left|x-1\right|\ge2\Leftrightarrow x\ge3;x\le-1\)
Vậy GTNN của biểu thức là 4 khi \(x\ge3\) hoặc \(x\le-1\) và \(y=-1\)
\(B=\sqrt{x^2-6x+2y^2+4y+11}+\sqrt{x^2+2x+3y^2+6y+4}=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\)
A/dụng bđt Mincốpxki có:
\(B=\sqrt{\left(3-x\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\ge\sqrt{\left(3-x+x+1\right)^2+\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\left(y+1\right)^2}=\sqrt{4^2+\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\left(y+1\right)^2}\ge\sqrt{4^2}=4\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x=3;y=-1\\x=1;y=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy MinB = 4 <=> (x;y) = (3;-1); (1;-1)