Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(y\ge xy+1\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\sqrt{\dfrac{y}{x}}\ge2\Rightarrow\dfrac{y}{x}\ge4\)
\(Q=\dfrac{1-\dfrac{2y}{x}+2\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}{\dfrac{y}{x}+\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}\)
Đặt \(\dfrac{y}{x}=a\ge4\)
\(Q=\dfrac{2a^2-2a+1}{a^2+a}=\dfrac{2a^2-2a+1}{a^2+a}-\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{\left(a-4\right)\left(3a-1\right)}{4\left(a^2+1\right)}+\dfrac{5}{4}\ge\dfrac{5}{4}\)
\(Q_{min}=\dfrac{5}{4}\) khi \(a=4\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
có: \(\dfrac{1}{x^2+y^2}=\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}=\dfrac{1}{1-2xy}\)(1)
có \(\dfrac{1}{xy}=\dfrac{2}{2xy}\left(2\right)\)
từ(1)(2)=>A=\(\dfrac{1}{1-2xy}+\dfrac{2}{2xy}\ge\dfrac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{1}=\left(1+\sqrt{2}\right)^2\)
=>Min A=(1+\(\sqrt{2}\))^2
\(A=\frac{x^2-xy+y^2}{x^2-2xy+y^2}\). ĐK: \(x\ne y\)
(Thật ra A không có giá trị lớn nhất, chỉ cần thay x, y sao cho x-y rất nhỏ, ví dụ x-y=0,000000001 là thấy A rất lớn, sau đây là một cách chứng minh)
+Nếu y = 0 thì \(A=\frac{x^2}{x^2}=1\text{ (với }x\ne0\text{)}\)
+Xét y khác 0;
\(A=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{x}{y}+1}{\left(\frac{x}{y}\right)^2-2\frac{x}{y}+1}\). Đặt \(\frac{x}{y}=t;\text{ }t\ne1\)
\(A=\frac{t^2-t+1}{t^2-2t+1}\)\(\Leftrightarrow A\left(t^2-2t+1\right)=t^2-t+1\)
\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)t^2+\left(1-2A\right)t+A-1=0\text{ (1)}\)
+Nếu A = 1 thì \(0+\left(1-2.1\right)t+1-1=0\Rightarrow t=0\Rightarrow\frac{x}{y}=0\Rightarrow x=0\)
+Xét \(x\ne0\Rightarrow A\ne1\)
Khi đó, (1) là phương trình bậc 2 ẩn t, tham số A. Để tồn tại (x,y) thì (1) phải có nghiệm
\(\Leftrightarrow\Delta=\left(1-2A\right)^2-4\left(A-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow4A-3\ge0\Leftrightarrow A\ge\frac{3}{4}\).
=> A không có GTLN; A có thể có GTNN là 3/4 (cần thay lại để chắc rằng A = 3/4 tại t khác 1. Nếu A = 3/4 tại t = 1 thì A không có GTNN do không xảy ra dấu "=")
2 câu b, c làm tương tự (nhân lên, xét delta)
Riêng câu b còn có thể làm như sau:
\(B=\frac{x}{\left(x+2000\right)^2}\text{ }\left(x\ne-2000\right)\)
+Nếu x < 0 thì B < 0
+Xét x > 0
\(x+2000\ge2\sqrt{2000x}=40\sqrt{5}\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{\left(x+2000\right)^2}\le\frac{x}{\left(40\sqrt{5}\sqrt{x}\right)^2}=\frac{1}{8000}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = 2000.
KL: GTLN của B là 1/8000.
\(x\ge xy+1\Rightarrow1\ge y+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{y}{x}}\Rightarrow\dfrac{y}{x}\le\dfrac{1}{4}\)
\(Q^2=\dfrac{x^2+2xy+y^2}{3x^2-xy+y^2}=\dfrac{\left(\dfrac{y}{x}\right)^2+2\left(\dfrac{y}{x}\right)+1}{\left(\dfrac{y}{x}\right)^2-\dfrac{y}{x}+3}\)
Đặt \(\dfrac{y}{x}=t\le\dfrac{1}{4}\)
\(Q^2=\dfrac{t^2+2t+1}{t^2-t+3}=\dfrac{t^2+2t+1}{t^2-t+3}-\dfrac{5}{9}+\dfrac{5}{9}\)
\(Q^2=\dfrac{\left(4t-1\right)\left(t+6\right)}{9\left(t^2-t+3\right)}+\dfrac{5}{9}\le\dfrac{5}{9}\)
\(\Rightarrow Q_{max}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\) khi \(t=\dfrac{1}{4}\) hay \(\left(x;y\right)=\left(2;\dfrac{1}{2}\right)\)
\(1\ge x+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}}\Rightarrow\dfrac{x}{y}\le\dfrac{1}{4}\)
Đặt \(\dfrac{x}{y}=a\Rightarrow0< a\le\dfrac{1}{4}\)
\(P=\dfrac{\left(\dfrac{x}{y}\right)^2-\dfrac{2x}{y}+2}{\dfrac{x}{y}+1}=\dfrac{a^2-2a+2}{a+1}=\dfrac{4a^2-8a+8}{4\left(a+1\right)}=\dfrac{4a^2-13a+3+5\left(a+1\right)}{4\left(a+1\right)}\)
\(P=\dfrac{5}{4}+\dfrac{\left(1-4a\right)\left(3-a\right)}{4\left(a+1\right)}\ge\dfrac{5}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=\dfrac{1}{4}\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
\(1\ge x+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}}\Rightarrow\dfrac{x}{y}\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{y}{x}\ge4\)
\(P=\dfrac{1-\dfrac{2y}{x}+2\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}{1+\dfrac{y}{x}}\)
Đặt \(\dfrac{y}{x}=a\ge4\Rightarrow P=\dfrac{2a^2-2a+1}{a+1}=2a-4+\dfrac{5}{a+1}\)
\(P=\dfrac{a+1}{5}+\dfrac{5}{a+1}+\dfrac{9}{5}.a-\dfrac{21}{5}\ge2\sqrt{\dfrac{5\left(a+1\right)}{5\left(a+1\right)}}+\dfrac{9}{5}.4-\dfrac{21}{5}=5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=4\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên làm thế nào để có thể nghĩ được ra như vậy?