Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{y^2+2xy+x^2}-\frac{x^3+y^3}{x^4-y^4}\right)\left(x\ne\pm y;y\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{4xy}{\left(y^2-x^2\right)\left(y^2+x^2\right)}:\left(\frac{1}{\left(y+x\right)^2}-\frac{x^3+y^3}{\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\right)\)
Ta có \(1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
Tương tự \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
\(1+z^2=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
Thay vào A ta được
\(P=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)
=2(xy+xz+yz)=2
\(b,VT=VP\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{xy+yz+zx+x^2}+\frac{y}{xy+yz+zx+y^2}+\frac{z}{xy+yz+zx+z^2}\)
\(=\frac{2xyz}{\sqrt{\left(xy+yz+zx+x^2\right)\left(xy+yz+zx+y^2\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{z}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)
\(=\frac{2xyz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(y+x\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(\Leftrightarrow xy+xz+xy+yz+xz+yz=2xyz\)
\(\Leftrightarrow2=2xyz\)
\(\Leftrightarrow xyz=1\)
Đù =)))
dự đoán của chúa Pain x=y=1
áp dụng BDT cô si ta có
\(A\ge2\sqrt{\frac{\left(x+y+1\right)^2.\left(xy+x+y\right)}{\left(xy+x+y\right)\left(x+y+1\right)^2}}=2.\)
dấu = xảy ra khi
\(\left(x+y+1\right)^2=xy+x+y\) :)
\(A=\frac{x^2-xy+y^2}{x^2-2xy+y^2}\). ĐK: \(x\ne y\)
(Thật ra A không có giá trị lớn nhất, chỉ cần thay x, y sao cho x-y rất nhỏ, ví dụ x-y=0,000000001 là thấy A rất lớn, sau đây là một cách chứng minh)
+Nếu y = 0 thì \(A=\frac{x^2}{x^2}=1\text{ (với }x\ne0\text{)}\)
+Xét y khác 0;
\(A=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{x}{y}+1}{\left(\frac{x}{y}\right)^2-2\frac{x}{y}+1}\). Đặt \(\frac{x}{y}=t;\text{ }t\ne1\)
\(A=\frac{t^2-t+1}{t^2-2t+1}\)\(\Leftrightarrow A\left(t^2-2t+1\right)=t^2-t+1\)
\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)t^2+\left(1-2A\right)t+A-1=0\text{ (1)}\)
+Nếu A = 1 thì \(0+\left(1-2.1\right)t+1-1=0\Rightarrow t=0\Rightarrow\frac{x}{y}=0\Rightarrow x=0\)
+Xét \(x\ne0\Rightarrow A\ne1\)
Khi đó, (1) là phương trình bậc 2 ẩn t, tham số A. Để tồn tại (x,y) thì (1) phải có nghiệm
\(\Leftrightarrow\Delta=\left(1-2A\right)^2-4\left(A-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow4A-3\ge0\Leftrightarrow A\ge\frac{3}{4}\).
=> A không có GTLN; A có thể có GTNN là 3/4 (cần thay lại để chắc rằng A = 3/4 tại t khác 1. Nếu A = 3/4 tại t = 1 thì A không có GTNN do không xảy ra dấu "=")
2 câu b, c làm tương tự (nhân lên, xét delta)
Riêng câu b còn có thể làm như sau:
\(B=\frac{x}{\left(x+2000\right)^2}\text{ }\left(x\ne-2000\right)\)
+Nếu x < 0 thì B < 0
+Xét x > 0
\(x+2000\ge2\sqrt{2000x}=40\sqrt{5}\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{\left(x+2000\right)^2}\le\frac{x}{\left(40\sqrt{5}\sqrt{x}\right)^2}=\frac{1}{8000}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = 2000.
KL: GTLN của B là 1/8000.