Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bài 3:
a, đặt x12=y9=z5=kx12=y9=z5=k
=>x=12k,y=9k,z=5k
ta có: ayz=20=> 12k.9k.5k=20
=> (12.9.5)k^3=20
=>540.k^3=20
=>k^3=20/540=1/27
=>k=1/3
=>x=12.1/3=4
y=9.1/3=3
z=5.1/3=5/3
vậy x=4,y=3,z=5/3
b,ta có: x5=y7=z3=x225=y249=z29x5=y7=z3=x225=y249=z29
A/D tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x5=y7=z3=x225=y249=z29=x2+y2−z225+49−9=58565=9x5=y7=z3=x225=y249=z29=x2+y2−z225+49−9=58565=9
=>x=5.9=45
y=7.9=63
z=3*9=27
vậy x=45,y=63,z=27
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\sqrt{x-3}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\sqrt{3(x-3)}\leq \frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{3+(x-3)}{2}=\frac{x}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{x-3}}{x}\leq \frac{1}{2\sqrt{3}}\)
\(\sqrt{y-4}=\frac{1}{2}\sqrt{4(y-4)}\leq \frac{1}{2}.\frac{4+(y-4)}{2}=\frac{y}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{y-4}}{y}\leq \frac{1}{4}\)
\(\sqrt{z-5}=\frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{5(z-5)}\leq \frac{1}{\sqrt{5}}.\frac{5+(z-5)}{2}=\frac{z}{2\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{z-5}}{z}\leq \frac{1}{2\sqrt{5}}\)
Vậy \(A\leq \frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2\sqrt{5}}=A_{\max}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=6; y=8; z=10\)
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức Mincopxki và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(A=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}\)
\(A\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)
\(A\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\right)^2}\)
\(A\ge\sqrt{4+\dfrac{81}{4}}=\sqrt{\dfrac{97}{4}}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
\(B=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}}\)
\(B\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)
\(B=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)
\(B\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+2\left(\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\right)^2}\)
\(B\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{162}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(B\ge\sqrt{4+\dfrac{162}{4}}=\sqrt{\dfrac{89}{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
\(P=\dfrac{\sqrt{2x^2+y^2}}{xy}+\dfrac{\sqrt{2y^2+z^2}}{yz}+\dfrac{\sqrt{2z^2+x^2}}{xz}\)
\(P=\sqrt{\dfrac{2x^2+y^2}{x^2y^2}}+\sqrt{\dfrac{2y^2+z^2}{y^2z^2}}+\sqrt{\dfrac{2z^2+x^2}{x^2z^2}}\)
\(P=\sqrt{\dfrac{2}{y^2}+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{\dfrac{2}{z^2}+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{z^2}}\)
\(P\ge\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{x}+\dfrac{\sqrt{2}}{y}+\dfrac{\sqrt{2}}{z}\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}=3\)
2
\(A=\sqrt{1-6x+9x^2}+\sqrt{9x^2-12x+4}\)
A= \(\sqrt{9x^2-6x+1}+\sqrt{9x^2-12x+4}\)
A= \(\sqrt{\left(3x-1\right)^2}+\sqrt{\left(3x-2\right)^2}=\left|3x-1\right|+\left|3x-2\right|\)
ta có |3x-1|+|3x-2|=|3x-1|+|2-3x| ≥ |3x-1+2-3x|=1
=> A ≥ 1
=> Min A =1 khi 1/3 ≤ x ≤ 2/3
đkxđ: \(z\ge1;x\ge2;y\ge3\)
Đặt \(a=\sqrt{z-1}\ge0;b=\sqrt{x-2}\ge0;c=\sqrt{y-3}\ge0\)
\(\Rightarrow z=a^2+1;x=b^2+2;y=c^2+3\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+2}+\dfrac{c}{c^2+3}\)
Do các biến \(a,b,c\) độc lập nhau nên ta xét từng phân thức một.
Đặt \(f\left(a\right)=\dfrac{a}{a^2+1}\) \(\Rightarrow f\left(a\right).a^2-a+f\left(a\right)=0\) (*)
Nếu \(f\left(a\right)=0\) thì \(a=0\), rõ ràng đây không phải là GTLN cần tìm.
Xét \(f\left(a\right)\ne0\)
Để pt (*) có nghiệm thì \(\Delta=\left(-1\right)^2-4\left[f\left(a\right)\right]^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(1+2f\left(a\right)\right)\left(1-2f\left(a\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}\le f\left(a\right)\le\dfrac{1}{2}\)
\(f\left(a\right)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{a}{a^2+1}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a^2+1=2a\Leftrightarrow a=1\) (nhận)
Vậy \(max_{f\left(a\right)}=\dfrac{1}{2}\).
Tiếp đến, gọi \(g\left(b\right)=\dfrac{b}{b^2+2}\) \(\Rightarrow g\left(b\right).b^2-b+2g\left(b\right)=0\) (**)
Tương tự nếu \(b=0\) thì vô lí. Xét \(b\ne0\). Khi đó để (**) có nghiệm thì \(\Delta=\left(-1\right)^2-8\left[g\left(b\right)\right]^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-2\sqrt{2}g\left(b\right)\right)\left(1+2\sqrt{2}g\left(b\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\le g\left(b\right)\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(g\left(b\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\Leftrightarrow\dfrac{b}{b^2+2}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\Leftrightarrow b^2+2=2\sqrt{2}b\Leftrightarrow b=\sqrt{2}\) (nhận)
Vậy \(max_{g\left(b\right)}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)
Làm tương tự với \(h\left(c\right)=\dfrac{c}{c^2+3}\), ta được \(max_{h\left(c\right)}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\), xảy ra khi \(c=\sqrt{3}\)
Vậy GTLN của A là \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}=\dfrac{6+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{12}\), xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)=\left(1,\sqrt{2},\sqrt{3}\right)\) hay \(\left(x,y,z\right)=\left(2,4,6\right)\).
Cái chỗ cuối mình sửa thế này nhé