Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức Mincopxki và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(A=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}\)
\(A\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)
\(A\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\right)^2}\)
\(A\ge\sqrt{4+\dfrac{81}{4}}=\sqrt{\dfrac{97}{4}}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
\(B=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}}\)
\(B\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)
\(B=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)
\(B\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+2\left(\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\right)^2}\)
\(B\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{162}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(B\ge\sqrt{4+\dfrac{162}{4}}=\sqrt{\dfrac{89}{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
bài 3:
a, đặt x12=y9=z5=kx12=y9=z5=k
=>x=12k,y=9k,z=5k
ta có: ayz=20=> 12k.9k.5k=20
=> (12.9.5)k^3=20
=>540.k^3=20
=>k^3=20/540=1/27
=>k=1/3
=>x=12.1/3=4
y=9.1/3=3
z=5.1/3=5/3
vậy x=4,y=3,z=5/3
b,ta có: x5=y7=z3=x225=y249=z29x5=y7=z3=x225=y249=z29
A/D tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x5=y7=z3=x225=y249=z29=x2+y2−z225+49−9=58565=9x5=y7=z3=x225=y249=z29=x2+y2−z225+49−9=58565=9
=>x=5.9=45
y=7.9=63
z=3*9=27
vậy x=45,y=63,z=27
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(VT=\sum\dfrac{\sqrt{\left(x+y\right)^2-xy}}{4yz+1}\ge\sum\dfrac{\sqrt{\left(x+y\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2}}{\left(y+z\right)^2+1}=\sum\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)}{\left(y+z\right)^2+1}\)
Set \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\\y+z=b\\z+x=c\end{matrix}\right.\)thì giả thiết trở thành \(a+b+c=3\) và cần chứng minh \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sum\dfrac{a}{b^2+1}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{a}{b^2+1}\ge\dfrac{3}{2}\)( đến đây quen thuộc rồi)
Ta có:\(\sum\dfrac{a}{b^2+1}=\sum a-\sum\dfrac{ab^2}{b^2+1}\ge3-\sum\dfrac{ab^2}{2b}\)(AM-GM)
\(VT\ge3-\sum\dfrac{ab}{2}\ge3-\dfrac{\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}{2}=\dfrac{3}{2}\)( AM-GM)
Vậy ta có đpcm.Dấu = xảy ra khi a=b=c=1 hay \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
2
\(A=\sqrt{1-6x+9x^2}+\sqrt{9x^2-12x+4}\)
A= \(\sqrt{9x^2-6x+1}+\sqrt{9x^2-12x+4}\)
A= \(\sqrt{\left(3x-1\right)^2}+\sqrt{\left(3x-2\right)^2}=\left|3x-1\right|+\left|3x-2\right|\)
ta có |3x-1|+|3x-2|=|3x-1|+|2-3x| ≥ |3x-1+2-3x|=1
=> A ≥ 1
=> Min A =1 khi 1/3 ≤ x ≤ 2/3
Đặt VT là T
Áp dụng AM-GM cho 3 số dương, ta có:
\(\dfrac{1}{\left(x-1\right)^3}+1+1+\left(\dfrac{x-1}{y}\right)^3+1+1+\dfrac{1}{y^3}+1+1\ge3\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{x-1}{y}+\dfrac{1}{y}\right)\)
\(T\ge3\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{x-1}{y}+\dfrac{1}{y}-2\right)=3\left(\dfrac{3-2x}{x-1}+\dfrac{x}{y}\right)\)(đpcm)
\(P=\dfrac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\dfrac{2}{x+2\sqrt{x}}+\dfrac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+2\sqrt{x}\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(x+2\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+2\sqrt{x}\right)}+\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)}{.....}+\dfrac{x+2}{....}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x^3}+2x+2\sqrt{x}-2+x+2}{.....}=\dfrac{\sqrt{x^3}+3x+2\sqrt{x}}{....}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(x+3\sqrt{x}+2\right)}{....}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{....}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
P/S: Chú ý điều kiện khi rút gọn, tự tìm.
Tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Hồ Minh Phi - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
\(P=\dfrac{\sqrt{2x^2+y^2}}{xy}+\dfrac{\sqrt{2y^2+z^2}}{yz}+\dfrac{\sqrt{2z^2+x^2}}{xz}\)
\(P=\sqrt{\dfrac{2x^2+y^2}{x^2y^2}}+\sqrt{\dfrac{2y^2+z^2}{y^2z^2}}+\sqrt{\dfrac{2z^2+x^2}{x^2z^2}}\)
\(P=\sqrt{\dfrac{2}{y^2}+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{\dfrac{2}{z^2}+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{z^2}}\)
\(P\ge\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{x}+\dfrac{\sqrt{2}}{y}+\dfrac{\sqrt{2}}{z}\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}=3\)
hicc , lm vậy mà còn quát con IM