Question

[Văn Thắng Hồ]

Tìm giá trị của tham số m để pt \(x^2-2\left(m+1\right)x+m=0\)có 2 nghiệm phân biệt thỏa \(\frac{2x_1-1}{x_2}+\frac{2x_2-1}{x_1}=x_1x_2+\frac{3}{x_1x_2}\)

Answer 1

[Trịnh Ánh Ngọc]

x²-2(m+1)x+m=0

Giải

\(\Delta=b^2-4ac\)

= (-2m-2)²-4.1.m

= 4m²+8m+4-4m

= 4m²+4m+1+3

= (2m+1)²+3

Do (2m+1)² \(\ge0\) nên (2m+1)²+3 luôn luôn lớn hơn 0 với mọi m

\(\Rightarrow\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: \(\frac{2x_1-1}{x_2}+\frac{2x_2-1}{x_1}=x_1x_2+\frac{3}{x_1x_2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x_1\left(2x_1-1\right)}{x_1x_2}+\frac{x_2\left(2x_2-1\right)}{x_1x_2}=\frac{\left(x_1x_2\right)^2}{x_1x_2}+\frac{3}{x_1x_2}\)

\(\Leftrightarrow2x_1^2-x_1+2x_2^2-x_2=\left(x_1x_2\right)^2+3\)

\(\Leftrightarrow2\left(x_1^2+x_2^2\right)-\left(x_1+x_2\right)=\left(x_1x_2\right)^2+3\)

Mà \(\left(x_1^2+x_2^2\right)=S^2-2P\) ; \(\left(x_1+x_2\right)=S\) ; \(\left(x_1x_2\right)^2=P^2\)

\(\Rightarrow2\left(S^2-2P\right)-S-P^2-3=0\)

\(\Leftrightarrow2S^2-4P-S-P^2-3=0\) \(\left(S=-\frac{b}{a};P=\frac{c}{a}\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(-\frac{-2m-2}{1}\right)^2-4\left(\frac{m}{1}\right)-\left(-\frac{-2m-2}{1}\right)-\left(\frac{m}{1}\right)^2-3=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(2m+2\right)^2-4m-2m-2-m^2-3=0\)

\(\Leftrightarrow8m^2+16m+8-4m-2m-2-m^2-3=0\)

\(\Leftrightarrow7m^2+10m+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=\frac{-3}{7}\\m_2=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy với \(\left[{}\begin{matrix}m_1=\frac{-3}{7}\\m_2=-1\end{matrix}\right.\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu đề bài.

CHÚC BẠN HỌC TỐT!