K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

25 tháng 11 2023

\(5^x-2^y=1\left(a\right)\left(x;y\in N\right)\)

Ta thấy với \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\) thì \(\left(a\right)\) thỏa mãn

\(\left(a\right)\Leftrightarrow5^x-1=2^y\)

Với \(y\ge3\left(y\in N\right)\)

\(\Rightarrow5^x-1=2^y⋮8\left(b\right)\)

- Nếu \(x=2k\left(k\in N\right)\) (x là số chẵn)

\(\Rightarrow5^x-1=25^k-1⋮3\left(25^k\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow25^k-1\equiv0\left(mod3\right)\right)\)

\(\Rightarrow\left(b\right)\) không thỏa mãn

- Nếu \(x=2k+1\left(k\in N\right)\) (x là số lẻ)

\(\Rightarrow5^x-1=5.25^k-1\equiv4\left(mod8\right)\left(5.25^k\equiv5\left(mod8\right)\right)\)

Nên với \(y\ge3\) không tồn tại \(\left(x;y\right)\) thỏa mãn \(\left(a\right)\)

Vậy có đúng 1 cặp nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\) thỏa mãn đề bài

23 tháng 3 2022

THAM Khảo

Giải toán trên mạng - Giúp tôi giải toán - Hỏi đáp, thảo luận về toán học - Học trực tuyến OLM

NV
23 tháng 3 2022

Xét trên tập số tự nhiên

- Với \(y=0\Rightarrow\) ko tồn tại x thỏa mãn

- Với \(y=1\Rightarrow\) ko tồn tại x thỏa mãn

- Với \(y=2\Rightarrow x=1\)

- Với \(y\ge2\Rightarrow2^y⋮8\)

\(\Rightarrow5^x-1⋮8\)

Nếu \(x\) lẻ \(\Rightarrow x=2k+1\Rightarrow5^x=5.25^k\equiv5\left(mod8\right)\) \(\Rightarrow5^x-1\equiv4\left(mod8\right)\) ko chia hết cho 8 (ktm)

\(\Rightarrow x\) chẵn \(\Rightarrow x=2k\)

\(\Rightarrow5^x=5^{2k}=25^k\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow5^x-1\equiv0\left(mod3\right)\Rightarrow5^x-1⋮3\Rightarrow2^y⋮3\) (vô lý)

Vậy với \(y\ge3\) ko tồn tại x;y thỏa mãn

Có đúng 1 cặp thỏa mãn là \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)

18 tháng 8 2023

=2

 

18 tháng 8 2023

=2

2 tháng 8 2020

ta thấy VT chia hết cho 6 => VP chia hết cho 6 => \(5^z\equiv-1\left(mod6\right)\)

=> (-1)z \(\equiv\)-1 (mod 6) => z lẻ

xét x=y=z=1 (thỏa mãn)

xét z>1 => z,y>1, ta có pt <=> 2x.3y=(5+1)(5z-1-5z-2+....-1)

<=> 2x-1.3y-1\(\equiv\)-1 (mod 2) vô lý vì VT chẵn)

vậy pt có nghiệm nguyên dương là x=y=z=1

NV
26 tháng 12 2020

1.

\(5=3xy+x+y\ge3xy+2\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(3\sqrt{xy}+5\right)\le0\Rightarrow xy\le1\)

\(P=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)+\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}-\sqrt{9-5xy}\)

\(P=\dfrac{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2-2xy+x+y+2}{x^2y^2+\left(x+y\right)^2-2xy+1}-\sqrt{9-5xy}\)

Đặt \(xy=a\Rightarrow0< a\le1\)

\(P=\dfrac{\left(5-3a\right)^3-3a\left(5-3a\right)+\left(5-3a\right)^2-2a+5-3a+2}{a^2+\left(5-3a\right)^2-2a+1}-\sqrt{9-5a}\)

\(P=\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{2}.2\sqrt{9-5a}\)

\(P\ge\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{4}\left(4+9-5a\right)\)

\(P\ge\dfrac{-29a^3+161a^2-277a+145}{4\left(5a^2-16a+13\right)}=\dfrac{\left(1-a\right)\left(29a^2-132a+145\right)}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\)

\(P\ge\dfrac{\left(1-a\right)\left[29a^2+132\left(1-a\right)+13\right]}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\ge0\)

\(P_{min}=0\) khi \(a=1\) hay \(x=y=1\)

Hai phân thức của P rất khó làm gọn bằng AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz (nó hơi chặt)

NV
26 tháng 12 2020

2.

Đặt \(A=9^n+62\)

Do \(9^n⋮3\) với mọi \(n\in Z^+\) và 62 ko chia hết cho 3 nên \(A⋮̸3\)

Mặt khác tích của k số lẻ liên tiếp sẽ luôn chia hết cho 3 nếu \(k\ge3\)

\(\Rightarrow\) Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi \(k=2\)

Do tích của 2 số lẻ liên tiếp đều không chia hết cho 3, gọi 2 số đó lần lượt là \(6m-1\)  và \(6m+1\)

\(\Leftrightarrow\left(6m-1\right)\left(6m+1\right)=9^n+62\)

\(\Leftrightarrow36m^2=9^n+63\)

\(\Leftrightarrow4m^2=9^{n-1}+7\)

\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-\left(3^{n-1}\right)^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-3^{n-1}\right)\left(2m+3^{n-1}\right)=7\)

Pt ước số cơ bản, bạn tự giải tiếp

7 tháng 6 2023

\(\left(x+y\right)^2+xy^2+2y^3=9y^2+8x\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy+xy^2+2y^3=9y^2+8x\)

\(\Leftrightarrow xy^2+x^2-8y^2-8x+2xy+2y^3=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(y^2+x\right)-8\left(y^2+x\right)+2y\left(y^2+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+x\right)\left(x-8+2y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y^2+x=0\\x+2y=8\end{matrix}\right.\)

TH1: \(y^2+x=0\Leftrightarrow x=y=0\), thỏa mãn.

TH2: \(x+2y=8\Rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;4\right);\left(2;3\right);\left(4;2\right);\left(6;1\right);\left(8;0\right)\right\}\)

Vậy pt đã cho có các cặp nghiệm tự nhiên (x; y) là:

\(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;0\right);\left(0;4\right);\left(2;3\right);\left(4;2\right);\left(6;1\right);\left(8;0\right)\right\}\)