Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì: \(0\le a\le b\le c\le1\) nên:
\(\left(a-1\right).\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab-a-b+1\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{ab+1}\le\dfrac{1}{a+b}\Leftrightarrow\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{c}{a+b}\) (1)
\(\left(a-1\right).\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow ac-a-c+1\ge0\Leftrightarrow ac+1\ge a+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{ac+1}\le\dfrac{1}{a+c}\Leftrightarrow\dfrac{b}{ac+1}\le\dfrac{b}{a+c}\) (2)
\(\left(b-1\right).\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow bc-b-c+1\ge0\Leftrightarrow bc+1\ge b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{bc+1}\le\dfrac{1}{b+c}\Leftrightarrow\dfrac{a}{bc+1}\le\dfrac{a}{b+c}\) (3)
Cộng vế với vế của (1)(2) và (3) ta được:
\(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ac+1}\le2\left(đpcm\right)\)
\(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}=\dfrac{1}{2}\left(a,b\ne-1\right)\\ \Rightarrow2\left(a+b+2\right)=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\\ \Rightarrow2a+2b+4=ab+a+b+1\\ \Rightarrow a+b-ab+3=0\\ \Rightarrow\left(b-1\right)-a\left(b-1\right)=-4\\ \Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=4=1\cdot4=2\cdot2\)
| \(a-1\) | 1 | 4 | 2 |
| \(b-1\) | 4 | 1 | 2 |
| \(a\) | 2 | 5 | 3 |
| \(b\) | 5 | 2 | 3 |
Vậy \(\left(a;b\right)=\left(2;5\right);\left(5;2\right);\left(3;3\right)\)
\(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{2\left(a+1\right)+2\left(b+1\right)-\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+1\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow a+b-ab+3=0\Leftrightarrow a\left(1-b\right)-\left(1-b\right)=-4\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(1-b\right)=-4\)
Do \(a,b\in N\) nên ta có bảng sau:
| a-1 | -1 | 1 | -4 | 4 | -2 | 2 |
| 1-b | 4 | -4 | 1 | -1 | 2 | -2 |
| a | 0 | 2 | -3(loại) | 5 | -1(loại) | 3 |
| b | -3(loại) | 5 | 0 | 2 | -1(loại) | 3 |
Vậy \(\left(a;b\right)\in\left\{\left(2;5\right);\left(5;2\right);\left(3;3\right)\right\}\)
Áp dụng t/c dtsbn ta có:
\(\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{b+c-a}{a}=\dfrac{c+a-b}{b}=\dfrac{a+b-c+b+c-a+c+a-b}{c+a+b}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(\dfrac{a+b-c}{c}=1\Rightarrow a+b-c=c\Rightarrow a+b=2c\\ \dfrac{b+c-a}{a}=1\Rightarrow b+c-a=a\Rightarrow b+c=2a\\ \dfrac{c+a-b}{b}=1\Rightarrow c+a-b=b\Rightarrow c+a=2b\)
\(\left(1+\dfrac{b}{a}\right)\left(1+\dfrac{a}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{b}\right)\\ =\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{abc}\\ =\dfrac{2c.2b.2a}{abc}\\ =\dfrac{8abc}{abc}\\ =8\)
Tổng các số trong phương trình là 1, vì vậy ta có: 3a + 2b + c = 1.
Với số tự nhiên a, b và c, ta có thể thử các giá trị để tìm bộ ba số thỏa mãn phương trình.
Ví dụ, ta có thể thử a = 1, b = 1 và c = -4, thì 3a + 2b + c = 3 + 2 + (-4) = 1, phương trình được thỏa mãn.
Vậy, một bộ ba số tự nhiên khác 0 thỏa mãn phương trình đã cho là a = 1, b = 1 và c = -4.