Question

[Mai Hà My]

Tìm ab biết ab² - ba² là số chính phương.

Cần gấp, cần gấp...

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

Kiểm tra lại đề bài nhé!

Tìm \(\overline{ab}\) biết \(\overline{ab}^2-\overline{ba}^2\) là số chính phương

Giải:

Ta có: \(\overline{ab}^2-\overline{ba}^2=\left(a.10+b\right)^2-\left(b.10+a\right)^2\)

\(=99\left(a^2-b^2\right)=9.11.\left(a^2-b^2\right)\)

Vì \(\overline{ab}^2-\overline{ba}^2\)là số chính phương => \(\overline{ab}^2-\overline{ba}^2=9.11.\left(a^2-b^2\right)=3^2.11^2k^2\); k thuộc Z

=> \(a^2-b^2=11k^2\)

Nhận xét: \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a.a+a.b-a.b+b.b=a^2-b^2\)

=> \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)=11k^2\)=> \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)⋮11\)(1)

Ta có: a, b là các số tự nhiên từ 1 đến 9 nên  \(0\le a-b\le8\); \(2\le a+b\le18\)(2)

Từ (1) ; (2) =>  a + b = 11

Vậy: \(\overline{ab}^2-\overline{ba}^2=3^2.11^2.\left(a-b\right)\)

Để \(\overline{ab}^2-\overline{ba}^2\) là số chính phương => (a - b ) là số chính phương => a -b = 1 hoặc a - b = 4

+) Với a - b = 1 mà a + b = 11 => a = ( 11+ 1 ) : 2 = 6; b = ( 11 - 1 ) : 2 = 5

=> \(\overline{ab}=65\)

+ Với a - b = 4 mà a + b = 11 => a = ( 11 + 4 ) :2 = 7, 5 ;loại

Vậy số cần tìm là 65.