Câu hỏi của Ngô Hải Đăng

Question

$\text{Tìm số tự nhiên x để }x^4+x^3+1\text{ là số chính phương}$

Khanh Nguyễn Ngọc · Accepted Answer

$A=x^4+x^3+1$ là số chính phương <=> $k^2A,k\inℕ^∗$cũng là số chính phươngỞ đây ta xét k=2$\Rightarrow4A=4x^4+4x^3+4$Nếu $x=1\Rightarrow4A=12$không là số chinh phươngXét $2\le x\Rightarrow4\le x^2\Rightarrow4A\le4x^4+4x^3+x^2=\left(2x^2+x\right)^2$Ý tưởng ở đây là chứng minh 4A nằm giữa 2 sô chính phương liên tiếp, từ đó ta ép 4A vào rất ít trường hợp khả thiVậy nên ta chứng minh $4A>\left(2x^2+x-1\right)^2$$\Leftrightarrow4x^4+4x^3+4>4x^4+x^2+1+4x^3-4x^2-2x$$\Leftrightarrow3x^2+2x+3>0$Đúng với mọi số tự nhiên xVậy $\left(2x^2+x-1\right)^2< 4A\le\left(2x^2+x\right)^2$Lúc này 4A là số chính phương khi và chỉ khi $4A=\left(2x^2+x\right)^2\Leftrightarrow x=2$Câu trả lời: $A=x^4+x^3+1$ là số chính phương <=> $k^2A,k\inℕ^∗$cũng là số chính phươngỞ đây ta xét k=2$\Rightarrow4A=4x^4+4x^3+4$Nếu $x=1\Rightarrow4A=12$không là số chinh phươngXét $2\le x\Rightarrow4\le x^2\Rightarrow4A\le4x^4+4x^3+x^2=\left(2x^2+x\right)^2$Ý tưởng ở đây là chứng minh 4A nằm giữa 2 sô chính phương liên tiếp, từ đó ta ép 4A vào rất ít trường hợp khả thiVậy nên ta chứng minh $4A>\left(2x^2+x-1\right)^2$$\Leftrightarrow4x^4+4x^3+4>4x^4+x^2+1+4x^3-4x^2-2x$$\Leftrightarrow3x^2+2x+3>0$Đúng với mọi số tự nhiên xVậy $\left(2x^2+x-1\right)^2< 4A\le\left(2x^2+x\right)^2$Lúc này 4A là số chính phương khi và chỉ khi $4A=\left(2x^2+x\right)^2\Leftrightarrow x=2$

Nguyễn · Answer

còn có 0 nữa nhé bạn. bạn xét th1 là 0

th2 là 1

và th3 mới là x lớn hơn hoặc bằng 2Câu trả lời: còn có 0 nữa nhé bạn. bạn xét th1 là 0

th2 là 1

và th3 mới là x lớn hơn hoặc bằng 2

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP