Question

[Nguyễn Thị Ngọc Hân]

Tam giác ABC có các cạnh là: a,b,c. Gọi 2p là chu vi tam giác. CMR:

a) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>=\frac{4}{a+b}\)

b) \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}>=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Cho 2p=18. Tìm GTNN của a²+b²+c²

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

b/ Áp dụng BĐT ở câu a:

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\frac{4}{c}\)

Tương tự: \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\) ; \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{b}\)

Cộng vế với vế: \(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge2\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

c/ \(2p=a+b+c=18\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{18^2}{3}=108\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=6\)