Question

[Huệ Ok]

Tam giác ABC cân ở A. 2 tia phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau ở I. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh A, I, M thẳng hàng

Answer 1

[迪丽热巴·迪力木拉提]

Tam giác ABC có I là giao điểm của 2 đường phân giác của góc B và C

=> AI là phân giác của góc A(1)

Mà tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC 

=> AM vừa là đường trung tuyến vừa phân giác của góc A(2)

Từ (1) và (2) suy ra AI trùng AM

=> A; I; M thằng hàng.

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Gọi giao điểm của BI với AC là E, giao điểm của CI và AB và F

Ta có: \(\widehat{ABE}=\widehat{EBC}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\)(BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

\(\widehat{ACF}=\widehat{BCF}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}\)(CF là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\))

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{ABE}=\widehat{CBE}=\widehat{ACF}=\widehat{BCF}\)

Xét ΔFBC và ΔECB có

\(\widehat{FBC}=\widehat{ECB}\)(ΔABC cân tại A)

BC chung

\(\widehat{FCB}=\widehat{EBC}\)(cmt)

Do đó: ΔFBC=ΔECB(g-c-g)

Suy ra: FB=EC(hai cạnh tương ứng) và \(\widehat{BFC}=\widehat{CEB}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{BFI}=\widehat{CEI}\)

Xét ΔFBI và ΔECI có 

\(\widehat{FBI}=\widehat{ECI}\)(cmt)

FB=EC(cmt)

\(\widehat{BFI}=\widehat{CEI}\)(cmt)

Do đó: ΔFBI=ΔECI(g-c-g)

Suy ra: IB=IC(hai cạnh tương ứng)

Ta có: AB=AC(ΔBAC cân tại A)

nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: IB=IC(cmt)

nên I nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Ta có: MB=MC(M là trung điểm của BC)

nên M nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra A,I,M thẳng hàng(Đpcm)