K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

28 tháng 11 2019

chỗ \(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\)phải là \(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\)

28 tháng 11 2019

a, Ta có

\(\frac{2}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)}=\frac{2\cdot\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}\)

\(=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{2n+1}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{4n^2+4n+1}}< \frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{4n^2+4n}}\)

mà \(\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{4n^2+4n}}=\frac{2\cdot\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{2\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}}-\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

b, áp dụng bđt ta có

\(\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{4023\cdot\left(\sqrt{2011}+\sqrt{2012}\right)}< \frac{2011}{2013}\)

\(=\frac{1}{\left(2\cdot1+1\right)\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{\left(2\cdot2+1\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2\cdot2011+1\right)\left(\sqrt{2011}-\sqrt{2012}\right)}\)

\(< 1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{2011}}-\frac{1}{\sqrt{2012}}\)..

\(=1-\frac{1}{\sqrt{2012}}=\frac{\sqrt{2012}-1}{\sqrt{2012}}=\frac{2011}{\sqrt{2012}\cdot\left(\sqrt{2012}+1\right)}\)

\(=\frac{2011}{2012+\sqrt{2012}}< \frac{2011}{2013}\)

a,ta có:(x2+7x+3)2=x4+14x3+55x2+42x+9(8x+4)(x2+5x+2)=8x3+44x2+36x+8=>x4+14x3+55x2+42x+9=8x3+44x2+36x+8<=>x4+6x3+11x2+6x+1=0xét x=0 ko phải no của ptxét x khác 0\(\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+11=0\)\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+9=0\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}+3\right)^2=0\Rightarrow x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2};\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\)d,xét n=1=> mệnh đề luôn đúnggiả sử mệnh đề...
Đọc tiếp

a,

ta có:

(x2+7x+3)2=x4+14x3+55x2+42x+9

(8x+4)(x2+5x+2)=8x3+44x2+36x+8

=>x4+14x3+55x2+42x+9=8x3+44x2+36x+8

<=>x4+6x3+11x2+6x+1=0

xét x=0 ko phải no của pt

xét x khác 0

\(\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+11=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+9=0\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}+3\right)^2=0\Rightarrow x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2};\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\)

d,

xét n=1=> mệnh đề luôn đúng

giả sử mệnh đề đúng với n=k

ta sẽ cm nó đúng với n=k+1

với n=k+1

=>(n+1)(n+2)..(n+n)=2n(n+1)(n+2)...(2n-1)

=2(k+1)(k+2).....2k chia hết cho 2k+1

=>(n+1)(n+2)(n+3)...(n+n) chia hết cho 2n

c,

ta có:

\(\left(1+x\right)\left(1+\frac{y}{x}\right)=1+x+y+\frac{y}{x}\ge1+y+2\sqrt{y}=\left(\sqrt{y}+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(1+x\right)\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(1+\frac{9}{\sqrt{y}}\right)^2\ge\left[\left(\sqrt{y}+1\right)\left(1+\frac{9}{\sqrt{y}}\right)\right]^2\)

\(=\left(\sqrt{y}+\frac{9}{\sqrt{y}}+10\right)^2\ge\left(6+10\right)^2=256\left(Q.E.D\right)\)

dấu = xảy ra khi y=9;x=3

b,

x7+xy6=y14+y8

<=>(x7-y14)+(xy6-y8)=0

<=>(x-y2)(x+y2)+y6(x-y2)=0

<=>(x-y2)(x+y2+y6)=0

xét x=y2

\(\Rightarrow\sqrt{4x+5}+\sqrt{y^2+8}=\sqrt{4y^2+5}+\sqrt{y^2-1}\)

\(\Rightarrow\sqrt{4y^2+5}+\sqrt{y^2+8}=6\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{4y^2+5}-3\right)+\left(\sqrt{y^2+8}-3\right)=0\)

\(\Rightarrow\frac{4y^2-4}{\sqrt{4y^2+5}+3}+\frac{y^2-1}{\sqrt{y^2+8}+3}=0\)

\(\Rightarrow\left(y^2-1\right)\left(\frac{4}{\sqrt{4y^2+5}+3}+\frac{1}{\sqrt{y^2+8}+3}\right)=0\)

\(\frac{4}{\sqrt{4y^2+5}+3}+\frac{1}{\sqrt{y^2+8}+3}>0\Rightarrow y^2=1\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(1;1\right);\left(1;-1\right)\)

xét x+y2+y6=0

<=>x=-y2-y6

lại có:

x7+xy6=y14+y8

<=>x(x6+y6)=y14+y8

<=>-(y2+y6)(x6+y6)=y14+y8

mà \(-\left(y^2+y^6\right)\left(x^6+y^6\right)\le0\le y^{14}+y^8\)

<=>y=0=>x=0(ko thỏa mãn)

vậy nghiệm của pt:(x;y)=(1;-1);(1;1)

1
14 tháng 10 2017

câu hệ sao từ x^7-y^14 sao xuống đc (x-y^2)(x+y^2) ? 

1. a) Tìm \(n\in N\)*, \(n2008\) sao cho \(2^{2008}+2^{2012}+2^{2013}+2^{2014}+2^{2016}+2^n\) là số chính phương b) tìm x,y > 0 thỏa mãn \(x^2+y^2=2\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-2\right)\) 2. a) \(\left\{{}\begin{matrix}a\ge0\\a+b\ge1\end{matrix}\right.\). Min \(A=\frac{8a^2+b}{4a}+b^2\) b) \(\left\{{}\begin{matrix}a,b\ge0\\\left(a-b\right)^2=a+b+2\end{matrix}\right.\). Cmr: \(\left(1+\frac{a^3}{\left(b+1\right)^3}\right)\left(1+\frac{b^3}{\left(b+1\right)^3}\right)\le9\) c)...
Đọc tiếp

1. a) Tìm \(n\in N\)*, \(n>2008\) sao cho \(2^{2008}+2^{2012}+2^{2013}+2^{2014}+2^{2016}+2^n\) là số chính phương

b) tìm x,y > 0 thỏa mãn \(x^2+y^2=2\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-2\right)\)

2. a) \(\left\{{}\begin{matrix}a\ge0\\a+b\ge1\end{matrix}\right.\). Min \(A=\frac{8a^2+b}{4a}+b^2\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}a,b\ge0\\\left(a-b\right)^2=a+b+2\end{matrix}\right.\). Cmr: \(\left(1+\frac{a^3}{\left(b+1\right)^3}\right)\left(1+\frac{b^3}{\left(b+1\right)^3}\right)\le9\)

c) \(x,y>0;\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2020\). Min P = x + y

d) \(x,y,z>0;\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=6\). Min \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)

e) \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\x+y+z+4xyz=4\end{matrix}\right.\) Cmr: \(\left(1+xy+\frac{y}{z}\right)\left(1+yz+\frac{z}{x}\right)\left(1+zx+\frac{x}{y}\right)\ge27\)

f) \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z\ge1\\3x^2+4y^2+5z^2=52\end{matrix}\right.\). Min P = x + y + z

g) \(x,y>0\). Min \(P=\frac{2}{\sqrt{\left(2x+y\right)^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{\left(x+2y\right)^3+1}-1}+\frac{\left(2x+y\right)\left(x+2y\right)}{4}-\frac{8}{3\left(x+y\right)}\)

6
23 tháng 2 2020

?Amanda?, Phạm Lan Hương, Phạm Thị Diệu Huyền, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma, @Trần Thanh Phương

giúp e với ạ! Cần trước 5h chiều nay! Cảm ơn mn nhiều!

NV
23 tháng 2 2020

Tranh thủ làm 1, 2 bài rồi ăn cơm:

1/ Đặt \(m=n-2008>0\)

\(\Rightarrow2^{2008}\left(369+2^m\right)\) là số chính phương

\(\Rightarrow369+2^m\) là số chính phương

m lẻ thì số trên chia 3 dư 2 nên ko là số chính phương

\(\Rightarrow m=2k\Rightarrow369=x^2-\left(2^k\right)^2=\left(x-2^k\right)\left(x+2^k\right)\)

b/

\(2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)=a^4+b^4\) \(\left(a+b>2\right)\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\le4\left(a+b-2\right)\)

\(\Rightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2\le0\Rightarrow a=b=2\)

\(\Rightarrow x=y=4\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 11 2019

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)\leq \left(\frac{a+1+a^2-a+1}{2}\right)^2=\left(\frac{a^2+2}{2}\right)^2\)

\(b^3+1\leq \left(\frac{b^2+2}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}\leq \frac{(a^2+2)(b^2+2)}{4}\)

\(\Rightarrow \frac{a^2}{\sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}}\geq \frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \underbrace{\frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}+\frac{4b^2}{(b^2+2)(c^2+2)}+\frac{4c^2}{(c^2+2)(a^2+2)}}_{M}\)

Ta cần CM \(M\geq \frac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^2(c^2+2)+b^2(a^2+2)+c^2(b^2+2)}{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)}\geq \frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+6(a^2+b^2+c^2)\geq (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\)

\(\Leftrightarrow 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+6(a^2+b^2+c^2)\geq (abc)^2+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+4(a^2+b^2+c^2)+8\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2(a^2+b^2+c^2)\geq 72\)

Điều này luôn đúng do theo BĐT AM-GM thì: \(\left\{\begin{matrix} a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq 3\sqrt[3]{(abc)^4}=3\sqrt[3]{8^4}=48\\ 2(a^2+b^2+c^2)\geq 6\sqrt[3]{(abc)^2}=6\sqrt[3]{8^2}=24\end{matrix}\right.\)

Do đó ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$

NV
5 tháng 7 2020

a/ Bạn coi lại đề, \(2\sqrt[3]{2xy}\) hay \(2\sqrt[3]{2}.xy\)

Như đề bạn ghi thì ko rút gọn được

b/ Xét \(\frac{x}{x^4+4}=\frac{x}{x^4+4x^2+4-\left(2x\right)^2}=\frac{x}{\left(x^2+2\right)^2-\left(2x\right)^2}\)

\(=\frac{x}{\left(x^2+2-2x\right)\left(x^2+2+2x\right)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x^2+2-2x}-\frac{1}{x^2+2+2x}\right)\)

Thay \(x=2n-1\) ta được:

\(\frac{2n-1}{4+\left(2n-1\right)^4}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\left(2n-1\right)^2-2\left(2n-1\right)+2}-\frac{1}{\left(2n-1\right)^2+2\left(2n-1\right)+2}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4\left(n-1\right)^2+1}-\frac{1}{4n^2+1}\right)\)

\(\Rightarrow VT=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4\left(1-1\right)^2+1}-\frac{1}{4.1^2+1}+\frac{1}{4.1^2+1}-\frac{1}{4.2^2+1}+...+\frac{1}{4\left(n-1\right)^2+1}-\frac{1}{4n^2+1}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{4n^2+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{4n^2}{4n^2+1}\right)=\frac{n^2}{4n^2+1}\)

17 tháng 6 2016

Ta có: \(n+\left(n+1\right)>2\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(AM-GM\right)\) suy ra:

\(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{1}{\left(2n+1\right).\frac{\left(n+1\right)-n}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+\left(n+1\right)}< \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)Áp dụng vào ta có:

\(S_n< \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right).\)

17 tháng 6 2016

Đây bạn:

/hoi-dap/question/55444.html