Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}\)
\(=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\). Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\ge3+\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)
\(\ge3+\left(a+b+c\right)-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3\)
Dấu "=" <=> \(a=b=c=1\)
\(Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}\) \(=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\). Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế: \(VT\ge3+\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\) \(\ge3+\left(a+b+c\right)-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3\) Dấu "=" <=> \(a=b=c=1\)\)
<=> \(\frac{b+c-a}{2a}+1+\frac{a-b+c}{2b}+1+\frac{a+b-c}{2c}+1\ge\frac{3}{2}+3\)
<=> \(\frac{a+b+c}{2c}+\frac{a+b+c}{2b}+\frac{a+b+c}{2c}\ge\frac{9}{2}\)
<=> \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
<=> \(\frac{a}{a}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{c}{c}\ge9\)
<=> \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge6\)
Ap dung bdt \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Suy ra ve trai >= 2.3=6=ve phai
=> DPCM
Dau = xay ra <=> a=b=c
mik phai di hoc nen tra loi tat mong ban thong cam
Đặt P=\(4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+5\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=\left(5a^2+\frac{4}{a}\right)+\left(5b^2+\frac{4}{b}\right)+\left(5c^2+\frac{4}{c}\right)\)
Lại có:\(a^3+b^3+c^3=3\)và \(a,b,c>0\)\(\Rightarrow0< a,b,c\le\sqrt[3]{3}\)
Ta chứng minh cho:
\(5x^2+\frac{4}{x}\ge2x^3+7\)với \(0< x\le\sqrt[3]{3}\)
\(\Leftrightarrow5x^2+\frac{4}{x}-2x^3-7\ge0\)
\(\Leftrightarrow5x^3+4-2x^4-7x\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^4-5x^3+7x-4\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^2-x-4\right)\left(x-1\right)^2\le0\)
Nhận thấy \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\\2x^2-x-4< 0\forall0< x\le\sqrt[3]{3}\end{cases}}\)\(\Rightarrow5x^2+\frac{4}{x}\ge2x^3+7\)\(\left(1\right)\)
Áp dụng (1).Ta có:
\(P\ge2a^3+7+2b^3+7+2c^3+7\) với \(0< a,b,c\le\sqrt[3]{3}\)
\(\Leftrightarrow P\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)+21\)
\(\Leftrightarrow P\ge27\) Do:\(a^3+b^3+c^3=3\)\(\left(đpcm\right)\)
Dấu = xảy ra khi:
\(a=b=c=1\)
Ta có \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=\frac{1}{a-b-c}\)
=> \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b-c}+\frac{1}{c}\)
=> \(\frac{b-a}{ab}=\frac{a-b}{\left(a-b-c\right)c}\)
Khi b - a = 0
=> (b - a)(a - c)(b + c) = 0 (1)
Khi b - a \(\ne0\)
=> ab = -(a - b - c).c
=> ab = -ac + bc + c2
=> ab + ac - bc - c2 = 0
=> a(b + c) - c(b + c) = 0
=> (a - c)(b + c) = 0
=> (b - a)(a - c)(b + c) = 0 (2)
Từ (1)(2) => (b - a)(a - c)(b + c) = 0
=> b - a = 0 hoặc a - c = 0 hoặc b + c = 0
=> a = b hoặc a = c hoặc b = -c
Vậy tồn tại 2 số bằng nhau hoặc đối nhau
Đặt \(a+b+c=t\) ta có \(a+b+c\le3\)
Đặt \(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow2P\ge\frac{18}{a+b+c}+3\left(a+b+c\right)=\frac{18}{t}+3t\)
ĐẾn đây nhóm thế nào hả ad
Do \(a;b;c>0\) và \(a^2+b^2+c^2=3\)
\(\Rightarrow0< a;b;c< \sqrt{3}\)
Ta cần CM: \(\frac{1}{a}+\frac{3}{2}a\ge\frac{a^2+9}{4}\)
Hay \(\frac{\left(a-1\right)^2\left(4-a\right)}{4a}\ge0\) Dúng do \(0>a< \sqrt{3}\)
Tương tự cộng lại ta được BđT cần cm
dự đoán của Thần thánh
\(\frac{ab}{a^2+b^2}=\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}\)
\(VT=\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)
\(p=\frac{ab}{a^2+b^2}+....+\frac{ca}{c^2+a^2};A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\right)\)
áp dụng BDT cô si ta có
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{\left(a^2+b^2\right)}{\frac{4}{9}}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\frac{4}{9}}}=\frac{2}{\frac{2}{3}}\sqrt{ab}=3\sqrt{ab}\)
tương tự với các BDT còn lại suy ra
\(p+\frac{9}{4}\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)
\(P+\frac{9}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
áp dụng BDT cô si ta có
\(a^2+\frac{1}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{9}}=\frac{2a}{3}\)
tương tự với b^2+c^2 ta được
\(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
" thay 1/3 vào ta được
\(p+\frac{3}{2}\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
áp dụng BDT cô si dạng " Rei " " luôn đúng với những bài ngược dấu "
\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\sqrt[3]{abc}\)
mà \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
thay a+b+c=1 vào ta được
\(P+\frac{3}{2}\ge3\Leftrightarrow P\ge\frac{6}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) " 1 "
bây giờ tính nốt con \(A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
áp dụng BDT \(\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{1}{a+b+c}\)
\(A=\frac{9}{4}.\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{9}{4}\left(\frac{1}{a+b+c}\right)\)
mà a+b+C=1 suy ra
\(A\ge\frac{9}{4}\) "2"
từ 1 và 2 suy ra
\(VT=P+A\ge\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)
" đúng với dự đoán của thần thánh "
Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:
\(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{c^2}{a+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\dfrac{81}{12}=\dfrac{27}{4}\)
Dấu "=" ⇔ a=b=c=3
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{9}{16}\left(b+1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{9a^2\left(b+1\right)}{16\left(b+1\right)}}=\dfrac{3a}{2}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{9}{16}\left(c+1\right)\ge\dfrac{3b}{2}\) ; \(\dfrac{c^2}{a+1}+\dfrac{9}{16}\left(a+1\right)\ge\dfrac{3c}{2}\)
Cộng vế:
\(VT+\dfrac{9}{16}\left(a+b+c+3\right)\ge\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow VT+\dfrac{27}{4}\ge\dfrac{27}{2}\Rightarrow VT\ge\dfrac{27}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)
tớ thấy dấu = xảy ra nó có chút vấn đề cậu ạ
dấu bằng khi a=b=c=2 là đúng