Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(y'=4x^3+4mx=4x\left(x^2+m\right)\)
Để đồ thị hàm số có 3 cực trị \(\Rightarrow y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt
\(\Rightarrow x^2+m=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 0
\(\Rightarrow m< 0\)
Bài 1: Ta có
\(y'=0\Leftrightarrow x[2mx^2-(m+1)]=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ 2mx^2-(m+1)=0(1)\end{matrix}\right.\)
Một điểm nằm trên trục tọa độ thì tung độ hoặc hoành độ phải bằng $0$. Do đó yêu cầu đề bài được đáp ứng khi $y'=0$ có nghiệm $x=0$ hoặc nếu $x$ khác $0$ thì tung độ tương ứng phải bằng $0$
+) Nếu \(m=0\) : $(1)$ vô nghiệm . $y'=0$ có nghiệm duy nhất $x=0$ (thỏa mãn)
+) Nếu $m=-1$ : $(1)$ có nghiệm $x=0$ (thỏa mãn)
+) Nếu $-1< m< 0$. Từ \((1)\Rightarrow x^2=\frac{m+1}{2m}< 0\) (vô lý) nên $(1)$ vô nghiệm. $y'=0$ có nghiệm duy nhất $x=0$ (thỏa mãn)
+) Nếu \(m>0\) hoặc \(m< -1\)
$(1)$ có 2 nghiệm \(x=\pm \sqrt{\frac{m+1}{2m}}\neq 0\)
\(\Rightarrow y=m(\pm \sqrt{\frac{m+1}{2m}})^4-(m+1)(\pm \sqrt{\frac{m+1}{2m}})^2+(m+1)\)
\(=\frac{(m+1)^2}{4m}-\frac{(m+1)^2}{2m}+(m+1)\)
\(=(m+1)-\frac{(m+1)^2}{4m}=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=-1\\ m=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\) . Vì \(\Rightarrow m=\frac{1}{3}\)
Vậy \(-1\leq m\leq 1 \text{or m}=\frac{1}{3}\)
Bài 2:
Ta có: \(y'=4x^3+4mx=0\Leftrightarrow x(x^2+m)=0\)
Nếu $m\geq 0$. PT $y'=0$ có duy nhất nghiệm $x=0$. Ta chỉ thu được 1 điểm cực trị (loại)
Nếu $m<0$. Ngoài $x=0$ pt $y'=0$ còn có 2 nghiệm \(x=\pm \sqrt{-m}\neq 0\)
(thu được 3 cực trị)
Khi đó:
\(y=(\pm \sqrt{-m})^4+2m(\pm \sqrt{-m})^2+4=m^2-2m^2+4=4-m^2\)
Để điểm cực trị nằm trên trục tọa độ thì \(y=0\Leftrightarrow 4-m^2=0\Leftrightarrow m=-2\) (do $m< 0$)
Vậy \(m=-2\)
Bài 1:
\(y=x^4+2(m-4)x^2+m+5\)
\(\Rightarrow y'=4x^3+4(m-4)x\)
\(y'=0\Leftrightarrow x(x^2+m-4)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ x^2=4-m\end{matrix}\right.\)
Để đths có 3 điểm cực trị thì \(y'=0\) phải có ít nhất 3 nghiệm pb. Khi đó \(4-m>0\Rightarrow m< 4\)
Khi đó, các điểm cực trị là:
\((0; m+5)\)
\((\sqrt{4-m}, -m^2+9m-11)\)
\((-\sqrt{4-m}, -m^2+9m-11)\)
Nếu $O$ là trọng tâm:
\(\left\{\begin{matrix} \frac{0+\sqrt{4-m}-\sqrt{4-m}}{3}=x_O=0\\ \frac{m+5+2(-m^2+9m-11)}{3}=y_O=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow -2m^2+19m-17=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} m=\frac{17}{2}\\ m=1\end{matrix}\right.\)
Vì $m< 4$ nên $m=1$
Bài 2:
\(y'=4x^3-4mx=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
x=0\\
x^2=m\end{matrix}\right.\)
Để hàm bậc 4 có 3 cực trị thì $y'=0$ phải có 3 nghiệm pb, suy ra $m>0$
Khi đó: \(y'=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ x=\sqrt{m}\\ x=-\sqrt{m}\end{matrix}\right.\)
Ba điểm cực trị:
\(A(0; m-1)\)
\(B(\sqrt{m}; -m^2+m-1)\)
\(C(-\sqrt{m}; -m^2+m-1)\)
Suy ra:
\(\overrightarrow{BC}=(-2\sqrt{m};0)\); \(\overrightarrow{AB}=(\sqrt{m}; -m^2)\)
\(\overrightarrow{OA}=(0;m-1)\); \(\overrightarrow{OC}=(-\sqrt{m}; -m^2+m-1)\)
Vì $O$ là trực tâm nên : \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{OA}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OC}=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -2\sqrt{m}.0+0.(m-1)=0\\ -m+m^2(m^2-m+1)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m(m^3-m^2+m-1)=0\)
\(\Leftrightarrow m(m^2+1)(m-1)=0\Rightarrow m=1\) vì \(m>0\)
Vậy.......
y'=4\(x^3\)-4mx=4x(\(x^2\)-4m)
y'=0\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2=m\end{matrix}\right.\)
Hàm số có 3 cực trị \(\Leftrightarrow\)m>0 (*)
khi đó tọa độ 3 điểm cực trị là A(0;0), B(\(\sqrt{m};-m^2\)), C(\(-\sqrt{m};-m^2\))
ycbt\(\Leftrightarrow\)\(S_{ABC}\)=\(m^2\)\(\sqrt{m}\)<1\(\Leftrightarrow0< m< 1\)(tm (*) ).
Chọn C
Ta có
nên hàm số có 3 điểm cực trị khi m > 1.
Với đk m > 1 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là:
Ta có:
Để 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác đều thì:
So sánh với điều kiện ta có: m = 1 + 3 3 2 thỏa mãn.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Yêu cầu bài toán
nếu có đáp án trắc nghiệm thì theo mình làm bài này nhanh như sau:
tìm tập xác định D=R
tính y', tìm điều kiện để cho hàm số có 3 điểm cực trị là pt y'=0 có 3 nghiệm phân biệt
áp dụng công thức tính nhanh :b^2 -6ac, suy ra m , kết hợp với điều kiện hàm số có 3 điểm cực trị, suy ra m cần tìm
lưu ý: công thức mình đưa ra là b^2-6ac chỉ áp dụng cho hàm bậc 4 trùng phương, 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác và có trọng tâm là gốc tọa độ.
Chọn D.
TXĐ: D = R.
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ y' = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ m -1 > 0 ⇔ m > 1(*)
3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0;1),
Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng
Ta có
Kết hợp với điều kiện (*) => m = 2
Làm theo bào toán trắc nghiệm như sau:
Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi ab < 0 
Chỉ có đáp án D thỏa mãn.
Để đồ thị hàm trùng phương \(y=ax^4+bx^2+c\) có 3 cực trị tạo thành một tam giác vuông cân thì các hệ số a, b, c cần thỏa điều kiện:
\(\left\{{}\begin{matrix}a.b< 0\\b^3=-8a\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m< 0\\\left(2m\right)^3=-8\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\m=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=-1\)
Để hàm số có 3 cực trị \(\Leftrightarrow m-2< 0\Rightarrow m< 2\)
\(y'=4x^3+4\left(m-2\right)x=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\sqrt{2-m}\\x=-\sqrt{2-m}\end{matrix}\right.\)
Gọi 3 cực trị lần lượt là A; B; C
\(\Rightarrow A\left(0;m^2-5m+6\right)\) ; \(B\left(-\sqrt{2-m};2-m\right)\) ; \(C\left(\sqrt{2-m};2-m\right)\)
Gọi I là trung điểm BC \(\Rightarrow I\left(0;2-m\right)\) ; \(BC=2\sqrt{2-m}\) ; \(AI=m^2-4m+4\)
Tam giác ABC đều khi và chỉ khi:
\(AI=\frac{\sqrt{3}}{2}BC\Leftrightarrow\left(2-m\right)^2=\sqrt{3\left(2-m\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(2-m\right)^3=3\Leftrightarrow m=2-\sqrt[3]{3}\)