Question

[Daryl]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x² - 2y² = 5

Answer 1

[Thắng Nguyễn]

x² - 2y² = 5

=>x²=2y²+5  (1)

=>x là số lẻ. Đặt \(x=2k+1\left(k\in Z\right)\). Khi đó

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(2k+1\right)^2=2y^2+5\)

\(\Leftrightarrow4k^2+4k+1=2y^2+5\)

\(\Leftrightarrow2y^2=4k^2+4k-4\)

\(\Leftrightarrow y^2=2\left(k^2+k-1\right)\) (2)

=>y chẵn. Đặt \(y=2n\left(n\in Z\right)\). Khi đó 

\(\left(2\right)\Leftrightarrow4n^2=2\left(k^2+k-1\right)\)

\(\Leftrightarrow2n^2+1=k\left(k+1\right)\) (*)

Nhìn vào (*) ta thấy VT lẻ, VP chẵn (vì k; k+1 là 2 số nguyên liên tiếp nên một trong 2 số là chẵn)

=> (*) vô nghiệm =>pt đầu vô nghiệm

Vậy không có x,y nguyên nào thỏa mãn 

Answer 2

[Lê Thế Tài]

x² - 2y² = 5   (4)

Lời giải : Từ phương trình (4) ta => x phải là số lẻ. Thay x = 2k + 1 (k thuộc Z) vào (4), ta được : 
4k² +4k + 1 - 2y² = 5 
tương đương 2(k² + k - 1) = y² 
=> y² là số chẵn => y là số chẵn.

Đặt y = 2t (t thuộc Z), ta có : 
2(k² + k - 1) = 4t² 
tương đương k(k + 1) = 2t² + 1   (**)

Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn, 2t² + 1 là số lẻ => phương trình (**) vô nghiệm.

Vậy phương trình (4) không có nghiệm nguyên.