Question

[Ngọc Anh]

tìm m để phương trình sau có nghiệm (x^2+2x)^2-4m(x^2+2x)+3m+1=0

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Đặt $x^2+2x=t$ thì $t=(x+1)^2-1\geq -1$

PT ban đầu trở thành: $t^2-4mt+3m+1=0(*)$

Ta cần tìm $m$ để $(*)$ có nghiệm $t\geq -1$

Điều này xảy ra khi:

\(\left\{\begin{matrix} \Delta'=4m^2-3m-1\geq 0\\ t_1+t_2\geq -2\\ (t_1+1)(t_2+1)\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m-1)(4m+1)\geq 0\\ 4m\geq -2\\ t_1t_2+(t_1+t_2)+1=3m+1+4m+1\geq 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\geq 1 \text{ hoặc } m\leq \frac{-1}{4}\\ m\geq \frac{-1}{2}\\ m\geq \frac{-2}{7}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m\geq 1\\ \frac{-2}{7}\leq m\leq \frac{-1}{4}\end{matrix}\right.\)