Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(x^2-2x+m^2+m+3=0\)
Xét \(\Delta=1^2-\left(m^2+m+3\right)=-\left(m^2+m+2\right)=\)
\(=-\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{7}{4}< 0\) với mọi m.
DO đó phương trình luôn vô nghiệm nên không có giá trị nào thỏa mãn.
b)
(1) a khác 0: \(m^2+m+3>0\forall m\)
(2) \(\Delta>0\Rightarrow\left(4m^2+m+2\right)^2-4m\left(m^2+m+3\right)>0\)
\(=16m^4+4m^3+13m^2-8m+4>0\)
(3) \(\dfrac{c}{a}>0\) => m > 0
(4) \(-\dfrac{b}{a}\) \(< 0\) \(\Leftrightarrow\)\(4m^2+m+2< 0\Rightarrow4\left(m+\dfrac{1}{8}\right)^2+\dfrac{31}{16}< 0\) vô lý
Kết luận không có m thỏa mãn đk đầu bài
để pt trên có 2 nghiệm pb thì \(\Delta'>0\)
<=> \(m^2+6m+9-4m-12>0\)
<=>\(m^2+2m-3>0\)
<=>\(\left(m-1\right)\left(m+3\right)>0\)
<=>\(\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -3\end{matrix}\right.\)
cho \(x_1,x_2\) là 2 nghiệm của pt và \(x_1< x_2\)
cần chứng minh \(x_1>-1\)
<=>\(-m-3-\sqrt{m^2+2m-3}>-1\)
<=>\(\sqrt{m^2+2m-3}>m+2\)
<=>\(\left[{}\begin{matrix}m^2+2m-3>m^2+4m+4\\m^2+2m-3>-m^2-4m-4\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left[{}\begin{matrix}2m+7< 0\\2m^2+6m+1>0\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{-7}{2}\\m>\dfrac{-3+\sqrt{7}}{2}\\m< \dfrac{-3-\sqrt{7}}{2}\end{matrix}\right.\)
so với điều kiện ở đè bài =>\(m< \dfrac{-7}{2}\)thỏa yêu câu đề bài
KL: để pt có 2 nghiệm pb đều lớn hơn -1 thì \(m< \dfrac{-7}{2}\)
\(\Delta'=\left(m+3\right)^2-\left(4m+12\right)=m^2+2m-3>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -3\end{matrix}\right.\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m+3\right)\\x_1x_2=4m+12\end{matrix}\right.\)
Pt có 2 nghiệm lớn hơn -1 khi: \(-1< x_1< x_2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}>-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2+x_1+x_2+1>0\\x_1+x_2>-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m+12-2\left(m+3\right)+1>0\\-2\left(m+3\right)>-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-\dfrac{7}{2}\\m< -2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\dfrac{7}{2}< m< -2\)
Kết hợp điều kiện ban đầu \(\Rightarrow-\dfrac{7}{2}< m< -3\)
Lời giải:
$x^3-(4m+1)x^2+(4m-4)+4=0$
$\Leftrightarrow (x^3-x^2)-4m(x^2-x)-4(x-1)=0$
$\Leftrightarrow x^2(x-1)-4mx(x-1)-4(x-1)=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(x^2-4mx-4)=0$
Dễ thấy pt có 1 nghiệm $x=1$. Do đó để PT có 3 nghiệm phân biệt thì PT $(*): x^2-4mx-4=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $1$
Điều này xảy ra khi:
\(\left\{\begin{matrix} f(1)=-3-4m\neq 0\\ \Delta'=4m^2+4>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\neq \frac{-3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2+2\left(m+3\right)x+4m+12=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Để pt đã cho có 3 nghiệm pb lớn hơn -1 \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm pb thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x_1;x_2\ne1\\-1< x_1< x_2\end{matrix}\right.\)
\(a+b+c\ne0\Leftrightarrow1+2m+6+4m+12\ne0\Rightarrow m\ne-\frac{19}{6}\)
\(\Delta'=\left(m+3\right)^2-\left(4m+12\right)>0\Leftrightarrow m^2+2m-3>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -3\\m>1\end{matrix}\right.\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m+3\right)\\x_1x_2=4m+12\end{matrix}\right.\)
\(-1< x_1< x_2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)>0\\\frac{x_1+x_2}{2}>-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2+x_1+x_2+1>0\\x_1+x_2>-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m+12-2m-6+1>0\\-2\left(m+3\right)>-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-\frac{7}{2}\\m< -2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\frac{7}{2}< m< -2\)
Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}-\frac{7}{2}< m< -3\\m\ne-\frac{19}{6}\end{matrix}\right.\)