Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\left(a_n-\frac{1}{2010}\right)^2\ge0\Rightarrow a_n^2-\frac{2}{2010}a_n+\frac{1}{2010^2}\ge0\)
\(\Rightarrow a_n^2\ge\frac{2}{2010}a_n-\frac{1}{2010^2}\)
\(\Rightarrow a_1^2+a_2^2+...+a_{2010}^2\ge\frac{2}{2010}\left(a_1+a_2+...+a_{2010}\right)-2010.\frac{1}{2010^2}\)
\(=\frac{2}{2010}-\frac{1}{2010}=\frac{1}{2010}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a_1=a_2=...=a_n=\frac{1}{2010}\)
Ta có
a21 + \(\frac{1}{1999^2}\)\(\ge\frac{2a_1}{1999}\)
.............
a21999 + \(\frac{1}{1999^2}\ge2\frac{a_{1999}}{1999}\)
Cộng vế theo vế ta được
a21 + a22 + ...+ a21999 + \(\frac{1}{1999}\)\(\ge\)(a1 + a2 + ...+ a1999 ) \(\frac{2}{1999}\)= \(\frac{2}{1999}\)
<=> a21 + a22 + ...+ a21999 \(\ge\frac{1}{1999}\)
bài 2
Cộng 2 vế của -4038.(1) + (2) ta được
\(a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038\left(a_1+a_2+...+a_{2019}\right)\le2019^3+1-4028.2019^2\)
\(\Leftrightarrow a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038a_1-4038a_2-...-4038a_{2019}\)
\(\le2019^3+1-2019.2019^2-2019.2019^2\)
\(\Leftrightarrow a_1^2+a_2^2+...+a_{2019}^2-4038a_1-4038a_2-...-4038a_{2019}+2019.2019^2\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(a_1^2-4038a_1+2019^2\right)+...+\left(a_{2019}^2-4038a_{2019}+2019^2\right)\le1\)
\(\Leftrightarrow A=\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2\le1\)
Do \(a_1;a_2;...;a_{2019}\in N\)nên \(A\in N\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}A=0\\A=1\end{cases}}\)
*Nếu A = 0
Dễ thấy \(A=\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2\ge0\forall a_1;a_2;...;a_{2019}\)
Nên dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a_1=a_2=a_3=...=a_{2019}=2019\)
*Nếu A = 1
\(\Leftrightarrow\left(a_1-2019\right)^2+\left(a_2-2019\right)^2+...+\left(a_{2019}-2019\right)^2=1\)(*)
Từ đó dễ dàng nhận ra trong 2019 số \(\left(a_1-2019\right)^2;\left(a_2-2019\right)^2;...;\left(a_{2019}-2019\right)^2\)phải tồn tại 2018 số bằng 0
Hay nói cách khác trong 2019 số \(a_1;a_2;a_3;...;a_{2019}\)phải tồn tại 2018 số có giá trị bằng 2019
Giả sử \(a_1=a_2=...=a_{2018}=2019\)
Khi đó (*)\(\Leftrightarrow\left(a_{2019}-2019\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a_{2019}=2020\\a_{2019}=2018\end{cases}}\)
Thử lại...(tự thử nhé)
Vậy...
Bài 1 : Vì \(4^{2019}\)có cơ số là 4 , số mũ 2019 là lẻ nên có tận cùng là 4
Để \(4^{2019}+3^n\)có tận cùng là 7 thì \(3^n\)có tận cùng là 3
Mà n là số tự nhiên nên n = 1
Theo giả thiết ta có \(\left(a_1^2+\cdots+a_{2015}^2\right)-2\cdot2015\cdot\left(a_1+\cdots+a_{2015}\right)\le2015^3-2\cdot2015^3+1=1-2015^3\), do vậy mà \(\left(a_1-2015\right)^2+\cdots+\left(a_{2015}-2015\right)^2\le1\), vì các số bên vế trái đều là các số tự nhiên nên trong các số này có 2014 số bằng 0 số còn lại bằng 0 hoặc bằng 1. Thành thử trong 2015 số tự nhiên \(a_1,\ldots,a_{2015}\) có \(2014\) số bằng \(2015\) số còn lại có thể bằng \(2015\), có thể \(2014\) hoặc \(2016\). Tuy nhiên hai trường hợp sau không thoả mãn. Vậy tất cả các số bằng \(2015\)