Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\hept{\begin{cases}x^2-y^2+t^2=21\left(1\right)\\x^2+3y^2+4z^2=101\left(2\right)\end{cases}}\)
Cộng (1) và (2) ta có :
\(2x^2+2y^2+4z^2+t^2=122\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+2z^2+t^2\right)-t^2=122\)
\(\Rightarrow2M=122+t^2\ge122\Rightarrow m\ge61\Rightarrow Min_M=61.\)
Khi \(t=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2-y^2=21\\x^2+3y^2+4z^2=101\left(3\right)\end{cases}.}\)
Vì x, y nguyên không âm nên :
\(\left(x-y\right)\left(x+y\right)=21\)
TH1: \(\hept{\begin{cases}x-y=1\\x+y=21\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=11\\y=10\end{cases}}\)Thế vào (3) ta được \(4z^2=-320\left(loại\right).\)
TH2: \(\hept{\begin{cases}x-y=3\\x+y=7\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}.}\)Thế vào (3) ta được \(4z^2=64\Leftrightarrow z^2=16\Leftrightarrow z=4\left(z\ge0\right).\)
Vậy ta tìm được \(\left(x,y,z,t\right)=\left(5;2;4;0\right)\)thì \(Min_M=61.\)
cộng vế 2 cái đẳng thức đề cho, đc: \(2x^2+2y^2=122-t^2-4z^2\) \(\Rightarrow x^2+y^2=61-\frac{t^2}{2}-2z^2\)
Thay vào M đc: \(M=61+\frac{t^2}{2}\) (t nguyên ko âm) => Min M = 61 khi t =0
Giải hệ \(\hept{\begin{cases}x^2+3y^2+4z^2=101\\x^2+y^2+2z^2=61\\x^2-y^2=21\end{cases}}\)sẽ ra đc giá trị của x2, y2, z2. nhưng hệ này vô số nghiệm thì phải
\(\left\{{}\begin{matrix}x-2\sqrt{y}+1=0\\y-2\sqrt{z}+1=0\\z-2\sqrt{x}+1=0\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế 3 pt trên ta có:
\(\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-2\sqrt{y}+1\right)+\left(z-2\sqrt{z}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y}-1\right)^2+\left(\sqrt{z}-1\right)^2=0\)
Dễ thấy: \(VT=\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y}-1\right)^2+\left(\sqrt{z}-1\right)^2\ge0=VP\)
Xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-1=0\\\sqrt{y}-1=0\\\sqrt{z}-1=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=1\\\sqrt{y}=1\\\sqrt{z}=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x=y=z=1\)
Lời giải:
\(\left\{\begin{matrix} x+y\leq 2\\ x^2+xy+y^2=3\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2\leq 4\\ x^2+xy+y^2=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (x+y)^2-(x^2+xy+y^2)\leq 1\Leftrightarrow xy\leq 1\)
Do đó:
\(t=x^2+y^2-xy=(x^2+y^2+xy)-2xy=3-2xy\geq 3-2.1=1\)
Mặt khác:
\(\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}=\frac{x^2+xy+y^2-2xy}{x^2+y^2+xy}=1-\frac{2xy}{x^2+xy+y^2}=3-(2+\frac{2xy}{x^2+xy+y^2})\)
\(=3-\frac{2(x+y)^2}{x^2+xy+y^2}=3-\frac{2(x+y)^2}{3}\leq 3\)
\(\Rightarrow t= x^2-xy+y^2\leq 3(x^2+xy+y^2)=3.3=9\)
Vậy \(t_{\min}=1\Leftrightarrow x=y=1\)
\(t_{\max}=9\Leftrightarrow (x,y)=(\sqrt{3}; -\sqrt{3})\)và hoán vị
mình giải tắt nhé vì mình không giỏi dùng công thức. Thông cảm nha.
1.
\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y=2m+3\\x+y=3m+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m}{4}+1\\y=\dfrac{-5m}{4}\end{matrix}\right.\)
vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left(\dfrac{m}{4}+1;\dfrac{-5m}{4}\right)\)
Thay vào đẳng thức ta được:
\(\left(\dfrac{m}{4}+1\right)^2+\left(\dfrac{-5m}{4}\right)^2=5\\ \Leftrightarrow x=\)
\(\left(I\right)\left\{{}\begin{matrix}mx+y=7\left(1\right)\\2x-y=-4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (2) ta được \(y=2x+4\)
Thay \(y=2x+4\) vào (1) ta có:
\(mx+2x+4=7\Leftrightarrow\left(m+2\right)x=3\)
⇒ \(x=\dfrac{3}{m+2}\)
P = \(x^2 + y^2\)= \(x^2+(2x+4)^2=x^2+4x^2+16x+16\)
P= \(5x^2+16x+16=5\bigg(x^2+\dfrac{16}{5}x\bigg)+16\)
P= \(5\bigg(x^2+2. \dfrac{8}{5}x+( \dfrac {8}{5})^2 - \big( \dfrac {8}{5} \big)^2\bigg)+16\)
P= \(5\bigg(x+ \dfrac{8}{5}\bigg)^2+16-5. \bigg(\dfrac{8}{5}\bigg)^2=5\bigg( x+ \dfrac{8}{5}\bigg)^2+ \dfrac{16}{5}\) \(\ge\dfrac{16}{5}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x+\dfrac{8}{5}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-8}{5}\)
⇒ \(\dfrac{3}{m+2}=-\dfrac{8}{5}\Rightarrow m=-\dfrac{31}{8}\)
Vậy \(m=-\dfrac{31}{8} \) thì \(P_{min}=\dfrac{16}{5}\)
+ \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^3+1+2\left(y^2-2y+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^3+1+2\left(y-1\right)^2=0\)
Với \(\forall y\in R\Rightarrow\left(y-1\right)^2\ge0\Rightarrow x^3+1\le0\)
\(\Rightarrow x^3\le-1\Leftrightarrow x\le-1\)(*)
+ \(\left(2\right)\Leftrightarrow x^2y^2-2y+x^2=0\)
Có \(\Delta'_y=1-x^4\) \(\ge0\) thì \(\left(2\right)\) có nghiệm
\(\Leftrightarrow x^4\le1\Leftrightarrow-1\le x\le1\)(**)
Từ (*) và (**) => \(x=-1\Rightarrow\) Thay vào (1) \(\Rightarrow y=1\)
Vậy \(B=x^2+y^2=\left(-1\right)^2+1^2=2\)
Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{z}=-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\\ \frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{z^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}\\ \frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \frac{2}{xy}-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow -\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)=4>0\Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}< 0\) (vô lý)
Do đó không tồn tại $x,y,z$ kéo theo không tồn tại giá trị của P
Đặt \(P=x^2+y^2+2z^2+t^2\)
Cộng vế với vế: \(2x^2+2y^2+4z^2+t^2=122\)
\(\Leftrightarrow2P-t^2=122\Rightarrow2P=122+t^2\ge122\)
\(\Rightarrow P\ge61\)
\(P_{min}=61\) khi \(\left(x;y;z;t\right)=\left(5;2;4;0\right)\)