Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(b,\) Ta có:
\(\dfrac{1}{n\sqrt{n-1}+\left(n-1\right)\sqrt{n}}\\ =\dfrac{1}{\sqrt{n}.\sqrt{n-1}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}.\sqrt{n-1}}-\dfrac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}.\sqrt{n-1}}\\ =\dfrac{1}{\sqrt{n-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\)
Thay:
\(n=2\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(n=3\Leftrightarrow\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(...\)
\(n=2007\Leftrightarrow\dfrac{1}{2007\sqrt{2006}+2006\sqrt{2007}}=\dfrac{1}{\sqrt{2006}}-\dfrac{1}{\sqrt{2007}}\\ \)
Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số không âm ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{1.2006}}>\dfrac{1}{\dfrac{1+2006}{2}}=\dfrac{2}{2007}\)
TT: \(\dfrac{1}{\sqrt{2.2005}}>\dfrac{2}{2007}\)
...
\(\dfrac{1}{\sqrt{2006.1}}>\dfrac{2}{2007}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(S>\dfrac{2}{2007}.2006\)
Mình chỉ viết CT tổng quát thôi nha rồi bạn tự thay vào
a, \(\frac{1}{\sqrt{n}(n+1)+n\sqrt{n+1} }=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)( }\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} =\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n} }{\sqrt{n}\sqrt{n+1} } =\frac{1}{\sqrt{n} } -\frac{1}{\sqrt{n+1} } \)
b,\(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1} }=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n} }{1}= \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \)
\(P=\frac{2006}{2007}+\sqrt{1+2006^2+\frac{2006^2}{2007^2}}\)
ta có : \(\left(1+2006\right)^2=2006^2+1+2.2006\)
\(\Leftrightarrow2006^2+1=2007^2-2.2006\)
=> P = \(\frac{2006}{2007}\) + \(\sqrt{2007^2-2.2006+\frac{2006^2}{2007^2}}\)
= \(\frac{2006}{2007}+\sqrt{\left(2007-\frac{2006}{2007}\right)^2}\)
= \(\frac{2006}{2007}+\left|2007-\frac{2006}{2007}\right|\)
= \(\frac{2006}{2007}+2007-\frac{2006}{2007}=2007\)
a, (Phần a đề bài phải là \(\left(1+\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+1}\right)^2\) mới đúng).
Nếu như vậy phần a ta sẽ áp dụng hằng đẳng thức:
(a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab - 2ac - 2bc rồi khai triển vế trái.
b) Sau khi kahi triển hằng đẳng thức và chứng minh được công thức ở phần a, ta sẽ áp dụng vào phần b rồi tính.
\(\sqrt{2007}-\sqrt{2006}=\frac{\sqrt{2007}-\sqrt{2006}}{2007-2006}=\frac{\sqrt{2007}-\sqrt{2006}}{\left(\sqrt{2007}-\sqrt{2006}\right)\left(\sqrt{2007}+\sqrt{2006}\right)}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2007}+\sqrt{2006}}< \frac{1}{\sqrt{2006}+\sqrt{2006}}=\frac{1}{2\sqrt{2006}}\)
Vậy \(\sqrt{2007}-\sqrt{2006}< \frac{1}{2\sqrt{2006}}\)
Bạn áp dùng biểu thức liên hợp là được
Ta có :
\(\sqrt{2007}-\sqrt{2006}=\frac{1}{\sqrt{2007}+\sqrt{2006}}\)(1)
\(\frac{1}{2\sqrt{2006}}=\frac{1}{\sqrt{2006}+\sqrt{2006}}\)(2)
Từ (1)(2)=>\(\frac{1}{\sqrt{2007}+\sqrt{2006}}< \frac{1}{\sqrt{2006}+\sqrt{2006}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2007}-\sqrt{2006}>\frac{1}{2\sqrt{2006}}\)
\(Q=\sqrt{1+2006^2+\left(\dfrac{2006}{2007}\right)^2}+\dfrac{2006}{2007}\)
=\(1+2006+\dfrac{2006}{2007}+\dfrac{2006}{2007}\)
=\(2007+\dfrac{4012}{2007}\)
=\(\dfrac{2007^2}{2007}+4012\)
=\(\dfrac{4028049}{2007}+\dfrac{4012}{2007}\)
=\(\dfrac{4032061}{2007}\)
\(Q=\sqrt{1+2006^2+\dfrac{2006^2}{2007^2}}+\dfrac{2006}{2007}\)
\(=1+2006+\dfrac{2006}{2007}+\dfrac{2006}{2007}\)
\(=\dfrac{4032061}{2007}\)