Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta chứng minh với a,b > 0 thì : \(\frac{a^4+b^4}{ab\left(a^3+b^3\right)}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow2ab\left(a^4+b^4\right)\ge ab\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge ab^3+ba^3\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)( luôn đúng )
Gọi biểu thức là A
Ta có : \(A\ge\frac{1}{2}.\left(2.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=1\)
Có thể xem thêm cách khác trong câu hỏi tương tự
Dễ dàng CM đc: \(\left(a^3+b^3\right)^2\le\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)\)
Andddd \(ab+bc+ca=abc\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
\(\Sigma\frac{a^4+b^4}{ab\left(a^3+b^3\right)}\ge\Sigma\frac{\frac{\left(a^3+b^3\right)^2}{a^2+b^2}}{ab\left(a^3+b^3\right)}=\Sigma\frac{a^3+b^3}{ab\left(a^2+b^2\right)}\ge\Sigma\frac{\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a+b}}{ab\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{a^2+b^2}{ab\left(a+b\right)}\)
\(\ge\Sigma\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}{ab\left(a+b\right)}=\Sigma\frac{a+b}{2ab}=\frac{1}{2}\Sigma\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=3
a) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3x}{x+1}-\dfrac{2}{y+4}=4\\\dfrac{2x}{x+1}-\dfrac{5}{y+4}=9\end{matrix}\right.\) (ĐKXĐ: \(x\ne-1;y\ne-4\))
Đặt \(\dfrac{x}{x+1}=a;\dfrac{1}{y+4}=b\left(a\ne0;b\ne0\right)\)
Hệ phương trình đã cho trở thành
\(\left\{{}\begin{matrix}3a-2b=4\left(1\right)\\2a-5b=9\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow2a=9+5b\Leftrightarrow a=\dfrac{9+5b}{2}\)
Thay \(a=\dfrac{9+5b}{2}\) vào \(\left(1\right)\), ta có:
\(\dfrac{3\left(9+5b\right)}{2}-2b=4\)
\(\Leftrightarrow27+15b-4b=8\)
\(\Leftrightarrow11b=-19\Leftrightarrow b=\dfrac{-19}{11}\)
Thay \(b=\dfrac{-19}{11}\) vào \(\left(2\right)\), ta có:
\(2a-5\cdot\dfrac{-19}{11}=9\)
\(\Leftrightarrow a=\dfrac{2}{11}\)
Với \(a=\dfrac{2}{11}\Rightarrow\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{2}{11}\)
\(\Leftrightarrow11x=2x+2\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{9}\)
Với \(b=\dfrac{-19}{11}\Rightarrow\dfrac{1}{y+4}=\dfrac{-19}{11}\)
\(\Leftrightarrow-19y-76=11\)
\(\Leftrightarrow y=\dfrac{-90}{19}\)
b,Ta có:
\(PT\Leftrightarrow7+3.\sqrt[3]{2+x}.\sqrt[3]{5-x}\left(\sqrt[3]{2+x}+\sqrt[3]{5-x}\right)=1\)
Thay \(\sqrt[3]{2+x}+\sqrt[3]{5-x}=1\) vào PT
\(\Rightarrow\) \(3.\sqrt[3]{2+x}.\sqrt[3]{5-x}=-6\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{2+x}.\sqrt[3]{5-x}=-2\)
\(\Leftrightarrow\left(2+x\right)\left(5-x\right)=-8\)
\(\Leftrightarrow x^2-3x-18=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=6\end{matrix}\right.\)
Thử lại thấy x= - 3, x=6 thỏa mãn
Vậy x= -3, x = 6
Lần sau đăng ít 1 thôi đăng nhiều ngại làm, bn đăng nhiều nên tui hướng dẫn sơ qua thôi tự làm đầy đủ vào vở
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+b^4\ge2a^2b^2;b^4+c^4\ge2b^2c^2;c^4+a^4\ge2c^2a^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi thu gọn
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
Áp dụng tiếp BĐT AM-GM
\(a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2b^2ac\)
Tương tự rồi cộng theo vế có ĐPCM
Bài 2:
Quy đồng BĐT trên ta có:
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\) (luôn đúng)
Bài 4: Áp dụng BĐT AM-GM
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{ab}\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{ab}=a+b\)
Tương tự rồi cộng theo vế
Bài 5: sai đề tự nhien có dấu - :v nghĩ là +
ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]
Bài 6 . Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
a2 + b2 ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0)
⇔ ( a + b)2 ≥ 4ab
⇔ \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)≥ ab
⇔ \(\dfrac{a+b}{4}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) ( 1 )
CMTT , ta cũng được : \(\dfrac{b+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{bc}{b+c}\) ( 2) ; \(\dfrac{a+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{ac}{a+c}\)( 3)
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3 ) , Ta có :
\(\dfrac{a+b}{4}\) + \(\dfrac{b+c}{4}\) + \(\dfrac{a+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) + \(\dfrac{bc}{b+c}\) + \(\dfrac{ac}{a+c}\)
⇔ \(\dfrac{a+b+c}{2}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) + \(\dfrac{bc}{b+c}\) + \(\dfrac{ac}{a+c}\)
Bài 4.
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương a , b, c , ta có :
\(1+\dfrac{a}{b}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) ( a > 0 ; b > 0) ( 1)
\(1+\dfrac{b}{c}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{b}{c}}\) ( b > 0 ; c > 0) ( 2)
\(1+\dfrac{c}{a}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{c}{a}}\) ( a > 0 ; c > 0) ( 3)
Nhân từng vế của ( 1 ; 2 ; 3) , ta được :
\(\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\) ≥ \(8\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}=8\)
4. Ta có: \(a+b+c=6abc\)
\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=6\)
Lại có: \(\frac{bc}{a^3\left(c+2b\right)}=\frac{1}{a^3\frac{c+2b}{bc}}=\frac{\frac{1}{a^3}}{\frac{1}{b}+\frac{2}{c}}=\frac{x^3}{y+2z}\)
Tương tự suy ra:
\(S=\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\)
\(=\frac{x^4}{xy+2zx}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{zx+2yz}\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}\ge\frac{xy+yz+zx}{3}=2\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{2}\Rightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}\)