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\(\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)+\left(b+c\right)\left(b^2-c^2\right)+\left(c+a\right)\left(c^2-a^2\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)-\left(b+c\right)\left[c^2-a^2+a^2-b^2\right]+\left(c+a\right)\left(c^2-a^2\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)-\left(b+c\right)\left(c^2-a^2\right)-\left(b+c\right)\left(a^2-b^2\right)+\left(c+a\right)\left(c^2-a^2\right)\)
\(=\left(a^2-b^2\right)\left(a+b-b-c\right)+\left(c^2-a^2\right)\left(c+a-b-c\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a-c\right)+\left(c-a\right)\left(c+a\right)\left(a-b\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a+b-c-a\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\)
Chúc bạn học tốt.
Đặt \(f=a^2\left(a-b-c\right)+b^2\left(b-a-c\right)+c^2\left(c-a-b\right)\)
\(=3abc+a^3+b^3+c^3-a^2b-b^2a-a^2c-b^2c-c^2a-c^2b\)
\(=a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)+c\left[2ab-a^2-b^2+c\left(c^2-bc-ac+ab\right)\right]\)
\(=\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)-c\left(a-b\right)^2+c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2\left(a+b+c\right)+c\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)
\(\Rightarrow BT=\left(a-b\right)^2\left(a+b+c\right)+c\left(b-c\right)\left(a-c\right)-c\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)
\(=\left(a+b\right)^2\left(a+b+c\right)\)
`Answer:`
`a^2.(b-c)+b^2.(c-a)+c^2.(a-b)`
`=a^2.(b-c)+b^2[(c-b)-(a-b)]+c^2.(a-b)`
`=a^2.(b-c)+b^2.(c-b)+b^2.(a-b)+c^2.(a-b)`
`=(b-c)(a^2-b^2)-(a-b)(b^2-c^2)`
`=(b-c)(a-b)(a+b)-(a-b)(b-c)(b+c)`
`=(a-b)(b-c)(a+b-b-c)`
`=(a-b)(b-c)(a-c)`
\(a^2.\left(b-c\right)+b^2,\left(c-a\right)+c^2.\left(a-b\right)\)
\(=a^2.\left(b-c\right)-b^2.\left(a-c\right)+c^2.\left(a-b\right)\)
\(=a^2.\left(b-c\right)-b^2.\left[\left(a-b\right)+\left(b-c\right)\right]+c^2.\left(a-b\right)\)
\(=a^2.\left(b-c\right)-b^2.\left(a-b\right)-b^2.\left(b-c\right)+c^2.\left(a-b\right)\)
\(=\left(b-c\right).\left(a^2-b^2\right)+\left(a-b\right).\left(c^2-b^2\right)\)
\(=\left(b-c\right).\left(a-b\right).\left(a+b\right)-\left(b-c\right).\left(b+c\right).\left(a-b\right)\)
\(=\left(b-c\right).\left(a-b\right).\left(a+b-b-c\right)\)
\(=\left(b-c\right).\left(a-b\right).\left(a-c\right)\)