Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=y^3+1\\\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)=z^3+1\\\left(z+1\right)\left(z^2+1\right)=x^3+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+x^2+x=y^3\left(1\right)\\y^3+y^2+y=z^3\\z^3+z^2+z=x^3\end{matrix}\right.\)
Giả sử \(x>y\Rightarrow x^3+x^2+x>y^3+y^2+y\)
\(\Rightarrow y^3>z^3\Leftrightarrow y>z\left(2\right)\)
\(\Rightarrow y^3+y^2+y>z^3+z^2+z\Rightarrow z>x\left(3\right)\)
Từ \(\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow y>x\) (Vô lí)
Giả sử \(x< y\Rightarrow x^3+x^2+x< y^3+y^2+y\)
\(\Rightarrow y^3< z^3\Leftrightarrow y< z\left(4\right)\)
\(\Rightarrow y^3+y^2+y< z^3+z^2+z\Rightarrow z< x\left(5\right)\)
Từ \(\left(4\right);\left(5\right)\Rightarrow y< x\) (Vô lí)
\(\Rightarrow x=y=z\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^3+x^2+x=x^3\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=0\) hoặc \(x=y=z=-1\)
ĐKXĐ : \(2\le x,y,z\le4\)
Từ hệ phương trình ta suy ra được
\(\Sigma x+\Sigma\sqrt{x-2}+\Sigma\sqrt{4-x}=\Sigma x^2-5\Sigma x+33\\ \Leftrightarrow\Sigma\left(x^2-6x+9\right)+6=\Sigma\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)\\ \Leftrightarrow\Sigma\left(x-3\right)^2+6=\Sigma\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\sqrt{A}+\sqrt{B}\le\sqrt{2\left(A+B\right)}\)
\(\Sigma\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)\le\Sigma\sqrt{2\left(x-2+4-x\right)}=\Sigma2=6\)
\(\Rightarrow\Sigma\left(x-3\right)^2+6\le6\Rightarrow\Sigma\left(x-3\right)^2\le0\)
Mà \(\Sigma\left(x-3\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-3\right)^2=\left(y-3\right)^2=\left(z-3\right)^2=0\\ \Leftrightarrow x=y=z=3\)
Thay vào ta thấy thỏa mãn -> x=y=z=3 là nghiệm hpt
Trừ theo vế hai pt đầu của hệ:
(x-y)(x+y-z)=0\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x+y=z\end{matrix}\right.\)
Xét x=y. Khi đó ta có hệ mới:\(\left\{{}\begin{matrix}y^2+yz=4\\z^2+y^2=10\end{matrix}\right.\)
=>5y2+5yz=2z2+2y2<=>3y2+5yz-2z2=0<=>\(\left[{}\begin{matrix}y=\frac{1}{3}z\\y=-2z\end{matrix}\right.\)
y=-2z=>(-2z)2-2z.z=4<=>2z2=4<=>\(\left[{}\begin{matrix}z=\sqrt{2}\rightarrow x=y=-2\sqrt{2}\\z=-\sqrt{2}\rightarrow x=y=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
\(y=\frac{1}{3}z\Rightarrow\left(\frac{1}{3}z\right)^2+\frac{1}{3}z.z=4\Leftrightarrow z^2=9\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z=3\rightarrow x=y=1\\z=-3\rightarrow x=y=-1\end{matrix}\right.\)
Xét x+y=z. Cộng theo vế hai pt đầu:
x2+y2+(x+y)2=8
=>4[(x+y)2+xy]=5[(x+y)2+x2+y2]<=>3x2-xy+3y2=0(pt vô nghiệm)
bài này biến đổi một tí
cộng cả 3 pt ta được
\(x^2+y^2+z^2+x+y+z=6\\ \Leftrightarrow x^2+2\cdot\frac{1}{2}\cdot x+\frac{1}{4}+y^2+2\cdot\frac{1}{2}\cdot y+\frac{1}{4}+z^2+2\cdot\frac{1}{2}\cdot z+\frac{1}{4}=\frac{21}{4}\)
suy ra
\(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2+\left(z+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}+\frac{16}{4}\)
vì x , y , z có vai trò như nhau nên
(x;y;z)= ( 0 ; 1 ; 3/2 ) và các hoán vị
ủa ủa, thử lại đâu đúng!!